Z-алмаштириш. Дискрет вақт тизимлари. Тўғри ва тескари z-алмаштиришлар

3.3. z-алмаштиришнинг хоссалари

Қуйида сигналларга рақамли ишлов беришда кенг фойдаланиладиган z-алмаштиришнинг баъзи фойдали хоссаларини қисқача келтирамиз.
1. Чизиқлилик. Агар ва кетма-кетликлар ва шаклидаги z-кўринишларга эга бўлса, у ҳолда z-кўринишларнинг чизиқли комбинацияси қуйидагича ифодаланади:





2. Кечикиш ёки силжиш. Агар кетма-кетликнинг z-кўриниши бўлса, у ҳолда элементга кечиккан кетма-кетликнинг z-кўриниши бўлади. Бу хоссадан дискрет вақт тизимлари узатиш функцияси z ни вақт бўйича фарқланувчи тенгламага айлантиришда кенг фойдаланилади

3. Свертка (ўрам). Кириш сигнали ва импульс характеристикаси бўлган дискрет вақт тизими берилган бўлса, тизим чиқишидаги сигнал қуйидагича аниқланади:

z-кўринишлар орқали тизим кириш ва чиқиши қуйидагича боғланган:





бунда , ва лар мос равишда , ва кетма-кетликларнинг z-кўринишлари. Агар ва берилган бўлса, у ҳолда ни нинг тескари z-алмаштириши орқали топиш мумкин. Юқоридагидан кўринадики (3.21а) тенгламадан свертка (ўрам) олиш жараёни z-обласда кўпайтириш амалига айланиб қолади.
4. Дифференциаллаш. Агар орқали кетма-кетлик z-кўриниши ифодаланса, у ҳолда нинг z-кўринишини ни дифференциаллаш орқали топиш мумкин





z-алмаштиришнинг бу хоссасидан юқори тартибли қутбларга эга бўлганда, унинг тескари z-алмаштиришини ҳисоблашда фойдаланилади.

3.4. Дискрет вақт тизимларини қутб ва ноллар орқали ифодалаш

Амалда фойдаланиладиган кўпгина дискрет вақт тизимлари учун z-алмаштиришли, яъни тизим узатиш функцияси ни унинг қутби ва ноли орқали ифодалаш мумкин. Мисол шаклида, -тартибли дискрет вақт оддий фильтри учун қуйидаги z-алмаштиришни кўриб чиқамиз ( бўлган ҳолат учун):







бунда


ва – фильтр коэффициентлари.
Агар функция нуқталарда қутбларга эга бўлса ва нуқталарда нолга тенг бўлса, у ҳолда функцияни кўпайтмаларга ёйиш ва қуйидаги кўринишга олиб келиш мумкин:





бунда – -нчи нол, – -нчи қутб ва – кучайтириш коэффициенти. z-алмаштиришнинг қутблари деб z нинг функция ни чексизликка тенг бўлишига олиб келувчи қийматларига айтилади. z нинг ни нолга тенг бўлишини таъминловчи қийматлари унинг ноллари деб аталади. функциянинг қутб ва ноллари ҳақиқий ёки комплекс бўлиши мумкин. агар қутб ва ноллар комплекс бўлса, у ҳолда улар функцияга комплекс мослашган жуфтлик бўлиб кирадилар, чунки ва коэффициентлар ҳақиқий бўлиши керак. (3.24) тенгламадан кўринадики агар функциянинг қутб ва ноллари жойлашиши маълум бўлса, у ҳолда функцияни ўзгармас катталик (константа)гача аниқлик билан қайта тиклаш мумкин.
z-кўринишдаги ахборотни қутб ва нолларнинг диграммаси кўринишида тасвирлаш қулай (3.1-расм). Ушбу диаграммада қутбларнинг ўрни (*) билан белгиланган, нол эса (0) билан белгиланган. 3.1-расмдаги мисолда ва нуқталарида қутблар жойлашган, нол эса нуқтада жойлашган.



3.1-расм. z-алмаштиришни қутб (*) ва ноллар (0) диаграммаси кўринишида тасвирлаш.


Қутб ва нолларнинг диаграммаси дискрет вақт тизими хоссаларини олиб беради. Мисол учун, қутб ва нолларнинг жойлашишига қараб тизимнинг амплитуда-частота характеристикасини ва унинг қандай даражада барқарорлигини билиб олиш мумкин. Барқарор тизимлар учун ҳамма қутблар, бирлик ўлчам (радиус)га эга доира ичида бўлиши ёки бирлик ўлчамли доира нолларига мос бўлиши мумкин.
Кўп ҳолларда z-алмаштиришни ёйилган кўринишда ифодалаш мумкин эмас, уни (3.24) тенгламадагидек кўп ҳадлар нисбати сифатида ифодалаш мумкин. Бу ҳолларда ни унинг нол ва қутблар z-кўринишида ифодалаш учун, махраж кўпҳадлиги ва сурат кўпҳадлиги нинг илдизларини топиш керак бўлади.
кўринишида бериладиган иккинчи тартибли кўпҳаднинг илдизлари қуйидаги формула орқали топилади:





ва кўпҳадларнинг нисбатан юқори тартибли илдизларини топиш мураккаб масала ҳисобланади. Амалда бу илдизларни топишда рақамли усуллардан фойдаланилади ёки Ньютон ёки/ҳамда Бэйстоу (Baistow) алгоритмларидан фойдаланилади.