Z-алмаштириш. Дискрет вақт тизимлари. Тўғри ва тескари z-алмаштиришлар

3.2.2. Элементар сонлар нисбати (каср сонлар) кўринишида ифодалаш усули

Бу усулдан фойдаланилганда дастлаб z-алмаштириш каср сонлар нисбати шаклида ёйилади. Ҳар бир элементар касрнинг z-тескари алмаштириши топилади. Бу натижаларни қўшиш натижасида умумий z-алмаштириш олинади. Амалда кўп ҳолларда z-алмаштириш z ёки кўп ҳадлиларнинг нисбати кўринишда берилади ва қуйидаги кўринишда бўлади:





Агар функциянинг қутблари биринчи тартибли бўлса ва бўлса, у ҳолда уни қуйидаги қаторга ёйиш мумкин:





бунда – функциянинг қутблари, – элементар касрларнинг коэффициентлари ва





коэффициентларини баъзан функциянинг айирмаси (вычет) деб ҳам аталади.
Агар (3.11) тенгламада суратнинг даражаси махражнинг даражасидан кичик бўлса, яъни бўлса, у ҳолда нолга тенг бўлади. Агар бўлса, у ҳолда ни ни кўринишида олиш учун дастлаб уни сурат ва махражнинг ни даражаси камайиб борувчи кўринишда ёзилган ифодасини устунга бўлиш керак бўлади. Қолдиқни (3.12) тенгламада келтирилган кўринишда ифодалаш мумкин.
коэффициентнинг қутб билан боғлиқ қийматини (3.12) тенгламанинг чап ва ўнг томонини га кўпайтириш, сўнгра алмаштиришни амалга ошириб топиш мумкин:





Агар функция бир ёки бир неча биринчи тартиблидан катта қутбларга эга бўлса (яъни мос келувчи қутбларга), у ҳолда буни эътиборга олиш учун (3.12) тенгламага қўшимча ҳадлар қўшиш керак бўлади.
Мисол учун, агар функция нуқтада -тартибли қутбга эга бўлса, у ҳолда элементар касрларга ёйишга қуйидаги кўринишдаги ҳадлар кириши керак:





коэффициентларининг қийматларини қуйидаги боғлиқликдан топиш мумкин: