Yuqori tartibli differensial tenglamalarning tartibini pasay­tirish

(2) tenglamaning ildizlari orasida kompleks yechim mavjud.

Xarakteristik tenglama haqiqiy koyeffisiyentli bo’lganligi sababli ildizga qo’shma bo’lgan son ham ildiz bo’ladi. Bu ildizlar bo’lsin. Bu ildizlarga (1) tenglamaning ko’rinishdagi ikkita yechim mos keladi.
2-misol. .
Xarakteristik tenglama . U ildizlarga ega, demak, berilgan tenglamaning xususiy yechimlari bo’lib, ular chiziqli bog’lanmagan va tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
61-misol. Xarakteristik tenglama ildizlari bo’lgan differensial tenglamaning umumiy yechimini yozing.
Umumiy yechim

ko’rinishda bo’ladi.

3. 
   Xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida karrali ildiz mavjud.
   

Masalan, tenglamaning karrali ildizi bo’lsin, bu holda (1) tenglama ta
(3)
ko’rinishdagi hususiy yechimga ega bo’ladi. Bu yechimlarni chiziqli bog’lanmaganligini bevosita Gram determinantidan foydalanmasdan aniqlash mumkin.
(4)
tenglik barcha x lar uchun o’rinli bo’lsin, u holda

ko’phad aynan nolga teng bo’ladi, bu esa ko’phadning barcha koeffisiyentlari nol bo’lgandagina bajarilishi mumkin. Demak, (4) tenglik faqat bo’lganda bajariladi va bundan (3) chiziqli bog’lanmagan funksiyalar sistemasini tashqil etadi.
3-misol. Xarakteristik tenglama ildizlari bo’lgan differensial tenglamaning umumiy yechimini yozing.
to’rt karrali ildiz bo’lganligi sababli tenglamaning xususiy yechimlari bo’ladi; ikki karrali – yechim
Shunday qilib, tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishga ega

4-misol. L[y]=0 tenglamaning xarakteristik tenglamasi ildizlari bo’lsa. uning umumiy yechimini yozing. uch karrali va ikki karrali ildizlar bo’lganligidan foydalanamiz. Umumiy yechim quyidagi ko’rinishga ega

(5)
tenglamani qaraymiz. Bu yerda - o’zgarmas sonlar, da aniqlangan va uzluksiz funksiya.