Yuqori tartibli differensial tenglamalarning tartibini pasay­tirish

“Yuqori tartibli differensial tenglamalarning tartibini pasay­tirish” mavzusi bo‘yicha tarqatma material


₍₁₎
tenglamaga n-chi tartibli differensial tenglama deyiladi, bu erda x - erkli o’zgaruvchi, y=y(x) izlanuvci funkciya.



tenglamaga yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan n-chi tartibli differensial tenglama deyiladi. Koshi masalasi yoki boshlang’ich masala deb bo’lganda.
(2)
shartni qanoatlantiruvchi funksiyani topishga aytiladi. Bu yerda berilgan sonlar. Ko’p hollarda, (1) tenglamani integrallash vaqtida

shakldagi tenglik hosil bo’lishi mumkin. Bu tenglamaga berilgan tenglamaning k - chi tartibli oraliq integrali deyiladi.
Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan n-chi tartibli differensial
tenglamalar. (to’liqmas tenglamalar)
I. (3)

1. 
   Agar (3) tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda bitta yoki bir nechta ko’rinishdagi oddiy tenglama hosil qilamiz. Bu tenglamani ketma-ket n marta integrallab umumiy yechimni topish mumkin.
   

Ko’rsatmalar. Bu holda

formuladan foydalanish mumkin.

2. 
   Agar (3) tenglamani parametrik ko’rinishda, ya’ni shaklda yozish mumkin bo’lsa, u holda munosabatdan foydalanib, tenglamaning umumiy yechimi parametrik ko’rinishda topiladi.
   

1-misol. . Tenglamani y⁽⁴⁾ ga nisbatan yechsak, tenglama hosil bo’ladi. Ketma-ket to’rt marta integrallab, umumiy yechimni hosil qilamiz.
2-misol. .
Bu tenglamada almashtirish olamiz. ga qo’ysak,

ga qo’yamiz.

Bu ifodani integrallab tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

II. (4)

(4) tenglamani , almashtirish yordamida n-k tartibli tenglamaga keltirish mumkin.
3-misol
Tenglamada noma’lum funksiya y qatnashmagan. yordamchi funksiyani kiritamiz. U vaqtda va tenglama ko’rinishga keladi.
Bu tenglama Klero tenglamasi, demak umumiy yechimi maxsus yechim bo’ladi.
Bu yerdan va tenglamaning umumiy yechimi , maxsus yechimi tenglamadan topiladi va .
III. . (5)
tenglamani almashtirish olib (bu yerda erkli o’zgaruvchi vazifasini y bajaradi) tartibini bitta birlikka pasaytirish mumkin. Bu holda hosilalar quyidagicha topiladi:

va hokazo.
4-misol. .
almashtirish olamiz, u holda va tenglama shaklga keladi. Bu yerdan va demak, . Bu tenglamani integrallab, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topamiz, .