Yuqori darajali tenglamalarni yechish

§3. Algebraik tenglamalar
1. Tenglama darajasini pasaytirish
Ba'zi algebraik tenglamalarni ulardagi ba'zi ko'phadni bir harf bilan almashtirish orqali darajasi dastlabki tenglamaning darajasidan kichik bo'lgan va yechimi oddiyroq bo'lgan algebraik tenglamalarga keltirilishi mumkin.
Misol 1. Tenglamani yeching
Yechim. Belgilang, keyin (1) tenglamani ko'rinishda qayta yozish mumkin Oxirgi tenglamaning ildizlari bor va Demak, (1) tenglama tenglamalar to'plamiga ekvivalent va. Bu to‘plamning birinchi tenglamasining yechimi, ikkinchi tenglamaning yechimi
(1) tenglamaning yechimlari
2-misol. Tenglamani yeching
Yechim. Tenglamaning ikkala tomonini 12 ga ko'paytirish va quyidagi bilan belgilash:
Biz tenglamani olamiz, bu tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz
(3) va tenglamani (3) ko'rinishida qayta yozish orqali belgilash Oxirgi tenglamaning ildizlari bor va shuning uchun (3) tenglama ikki tenglamalar to'plamiga ekvivalent ekanligini topamiz va bu tenglamalar to'plamining yechimi, ya'ni tenglama. (2) tenglamalar to‘plamiga ekvivalent va (4)
(4) to’plamning yechimlari va, ular (2) tenglamaning yechimlaridir.
2. Shaklning tenglamalari
Tenglama
(5) bu raqamlar qayerda, noma'lumni almashtirish, ya'ni almashtirish orqali bikvadrat tenglamaga keltirilishi mumkin.
Misol 3. Tenglamani yeching
Yechim. bilan belgilaymiz, ya'ni. ya'ni o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz yoki (6) tenglamani ko'rinishda yoki formuladan foydalanib, ko'rinishda qayta yozish mumkin.
Kvadrat tenglamaning ildizlari ham (7) tenglamaning yechimlari bo'lganligi sababli, tenglamalar to'plamining yechimlari va. Ushbu tenglamalar to'plami ikkita yechimga ega va shuning uchun (6) tenglamaning echimlari va
3. Shaklning tenglamalari
Tenglama
(8) bu yerda a, b, g, d va a raqamlari a
4-misol. Tenglamani yeching
Yechim. Noma'lumlarni o'zgartirishni amalga oshiramiz, ya'ni y = x + 3 yoki x = y - 3. Keyin (9) tenglamani ko'rinishda qayta yozish mumkin.
(y-2) (y-1) (y + 1) (y + 2) = 10, ya'ni ko'rinishda
(y2- 4) (y2-1) = 10 (10)
Bikvadrat tenglama (10) ikkita ildizga ega. Demak, (9) tenglama ham ikkita ildizga ega:
4. Shaklning tenglamalari
Tenglama, (11)
Bu yerda x = 0 ildizi yo‘q, shuning uchun (11) tenglamani x2 ga bo‘lib, ekvivalent tenglamani olamiz.
Noma'lumni almashtirgandan so'ng, uni hal qilish qiyin bo'lmagan kvadrat tenglama sifatida qayta yoziladi.
5-misol. Tenglamani yeching
Yechim. h = 0 (12) tenglamaning ildizi emasligi sababli, uni x2 ga bo'lib, ekvivalent tenglamani olamiz.
O'zgartirishni noma'lum qilib, ikkita ildizga ega bo'lgan (y + 1) (y + 2) = 2 tenglamani olamiz: y1 = 0 va y1 = -3. Demak, dastlabki tenglama (12) tenglamalar to‘plamiga ekvivalentdir
Ushbu to'plam ikkita ildizga ega: x1 = -1 va x2 = -2.
Javob: x1 = -1, x2 = -2.
Izoh. Shaklning tenglamasi,
Bunda siz har doim (11) ko'rinishga olib kelishingiz mumkin va bundan tashqari, a> 0 va l> 0 ni shaklga olib kelishingiz mumkin.
5. Shaklning tenglamalari
Tenglama
, (13) bu yerda a, b, g, d va a raqamlari shunday bo‘ladiki, ab = gd ≠ 0, birinchi qavsni ikkinchisiga, uchinchisini to‘rtinchisiga ko‘paytirish orqali qayta yozish mumkin, ya’ni. , (13) tenglama endi (11) ko'rinishda yoziladi va uning yechimi (11) tenglamaning yechimi kabi amalga oshirilishi mumkin.
Misol 6. Tenglamani yeching
Yechim. (14) tenglama (13) ko'rinishga ega, shuning uchun uni shaklda qayta yozamiz
X = 0 bu tenglamaning yechimi emasligi sababli, uning ikkala tomonini x2 ga bo'lib, biz ekvivalent asl tenglamani olamiz. O'zgaruvchilarni o'zgartirish orqali biz kvadrat tenglamani olamiz, uning yechimi va. Binobarin, dastlabki tenglama (14) tenglamalar to'plamiga ekvivalent va.
Bu to‘plamning birinchi tenglamasining yechimi
Ushbu yechimlar to'plamining ikkinchi tenglamasi mavjud emas. Demak, asl tenglamaning x1 va x2 ildizlari bor.
6. Shaklning tenglamalari
Tenglama
(15) bu yerda a, b, c, q, A sonlar shundayki, x = 0 ildizga ega emas, shuning uchun (15) tenglamani x2 ga bo'linadi. biz unga ekvivalent tenglamani olamiz, u noma'lumni almashtirgandan so'ng, uni hal qilish qiyin bo'lmagan kvadrat tenglama shaklida qayta yoziladi.
7-misol. Tenglamani yechish
Yechim. x = 0 (16) tenglamaning ildizi bo'lmagani uchun, uning ikkala qismini ham x2 ga bo'lib, tenglamani olamiz.
, (17) tenglamaga (16) ekvivalent. O'zgartirishni noma'lum qilib, (17) tenglamani ko'rinishga qayta yozamiz
Kvadrat tenglama (18) 2 ta ildizga ega: y1 = 1 va y2 = -1. Shuning uchun (17) tenglama tenglamalar to'plamiga ekvivalent va (19)
(19) tenglamalar to'plami 4 ta ildizga ega:,.
Ular (16) tenglamaning ildizlari bo'ladi.