Yuqori darajali tenglamalarni yechish

YUQORI DARAJALI TENGLAMALARNI YECHISH
Qabul qilingan matematik ta'lim umumta'lim maktabi, muhim komponent hisoblanadi umumiy ta'lim va zamonaviy insonning umumiy madaniyati.
Mashhur nemis matematigi Kurant shunday deb yozgan edi: “Ikki ming yildan ko'proq vaqt davomida matematika sohasida ba'zi, juda yuzaki bo'lmagan bilimlarga ega bo'lish zarur edi. qismi har bir o'qimishli odamning intellektual inventariga kiradi. Va bu bilimlar orasida oxirgi o'rin tenglamalarni yechish qobiliyatiga tegishli emas.
Qadim zamonlarda odamlar algebraik tenglamalarni echishni o'rganish qanchalik muhimligini tushunishgan. Taxminan 4000 yil oldin Bobil olimlari kvadrat tenglamaning yechimini o'zlashtirdilar va ikkita tenglama tizimini yechdilar, ulardan biri ikkinchi darajali. Tenglamalar yordamida er o'rganish, arxitektura va harbiy ishlarning turli muammolari hal qilindi, ularga amaliyot va tabiatshunoslikning ko'plab va turli xil savollari tushirildi, chunki matematikaning aniq tili shunchaki faktlar va munosabatlarni ifodalashga imkon beradi: oddiy tilda taqdim etilishi chalkash va murakkab tuyulishi mumkin. Tenglama matematikadagi eng muhim tushunchalardan biridir. Matematikaning fan sifatida vujudga kelishidan boshlab tenglamalarni yechish usullarini ishlab chiqish, uzoq vaqt algebrani oʻrganishning asosiy predmeti boʻlgan. Bugun esa matematika darslarida ta’limning birinchi bosqichidan boshlab tenglamalarni yechish turli xil turlari katta e’tibor berilmoqda.
Ildizlarni topish uchun universal formula algebraik tenglama n - daraja yo'q. Albatta, ko'pchilik istalgan darajani topish uchun jozibali g'oyani o'ylab topdi n tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bilan ifodalovchi formulalar, ya’ni tenglamani radikallarda yechish mumkin edi. Biroq, "ma'yus o'rta asrlar" muhokama qilinayotgan muammoga nisbatan iloji boricha ma'yus bo'lib chiqdi - yetti asr davomida hech kim kerakli formulalarni topa olmadi! Faqat 16-asrda italiyalik matematiklar oldinga siljishga - formulalarni topishga muvaffaq bo'lishdi n =3 va n =4 ... degan savol bilan bir vaqtda umumiy qaror 3-darajali tenglamalar Scipio Dal Ferro, uning shogirdi Fiori va Tartalya tomonidan o'rganilgan. 1545 yilda italyan matematigi D Kardanoning "Buyuk san'at yoki algebra qoidalari to'g'risida" kitobi nashr etildi, unda algebraning boshqa masalalari bilan bir qatorda kub tenglamalarni echishning umumiy usullari ko'rib chiqiladi. shogirdi L.Ferrari tomonidan kashf etilgan 4-darajali tenglamalarni yechish. F.Vyet 3 va 4-darajali tenglamalarni yechish bilan bog‘liq savollarni to‘liq ko‘rsatib berdi. 19-asrning 20-yillarida esa norveg matematigi N.Abel 5 va undan yuqori darajali tenglamalarning ildizlarini radikallar bilan ifodalash mumkin emasligini isbotladi.
Tenglama yechimlarini topish jarayoni odatda tenglamani ekvivalenti bilan almashtirishdan iborat. Tenglamani ekvivalent bilan almashtirish to'rtta aksiomani qo'llashga asoslanadi:
1. Agar teng qiymatlar bir xil songa oshirilsa, natijalar teng bo'ladi.
2. Agar siz bir xil sonni teng qiymatlardan ayirsangiz, natijalar teng bo'ladi.
3. Agar teng qiymatlar bir xil songa ko'paytirilsa, natijalar teng bo'ladi.
4. Agar teng qiymatlar bir xil songa bo'linsa, natijalar teng bo'ladi.
P (x) = 0 tenglamaning chap tomoni polinom bo'lgani uchun n-daraja, quyidagi bayonotlarni eslash foydali bo'ladi:
Ko‘phadning ildizlari va uning bo‘luvchilari haqidagi gaplar:
1. n-darajali ko'phadning ildizlar soni ko'pi bilan n bo'ladi va m ko'paytmaning ildizlari aynan m marta sodir bo'ladi.
2. Toq darajali polinom kamida bitta haqiqiy ildizga ega.
3. Agar a P (x) ning ildizi bo'lsa, u holda P n (x) = (x - a) Q n - 1 (x), bu erda Q n - 1 (x) darajali ko'phad (n - 1).
4. Butun koeffitsientli ko'phadning har qanday butun ildizi kesmaning bo'luvchisi hisoblanadi.
5. Butun sonli koeffitsientli qisqartirilgan polinom kasrli ratsional ildizlarga ega bo'lishi mumkin emas.
6. 3 darajali polinom uchun
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ikkita narsadan biri mumkin: yoki u uchta binom ko'paytmasiga parchalanadi.
R 3 (x) = a (x - a) (x - b) (x - g), yoki binomial va kvadrat uch alamli R 3 (x) = a (x - a) ko'paytmasiga ajralishi mumkin. (x 2 + bx + g ).
7. To'rtinchi darajali har qanday ko'phadni ikkita kvadrat uch a'zoning ko'paytmasiga ajratish mumkin.
8. f (x) ko'phad, f (x) = g (x) q (x) ko'phadli q (x) bo'lsa, g (x) ko'phadga qoldiqsiz bo'linadi. Polinomlarni bo'lish uchun "burchak bo'linishi" qoidasi qo'llaniladi.
9. P (x) ko‘phadning binomiga (x - c) bo‘linishi uchun c ning P (x) ning ildizi bo‘lishi zarur va yetarli (Bezout teoremasining xulosasi).
10. Vyeta teoremasi: Agar x 1, x 2, ..., x n koʻphadning haqiqiy ildizlari boʻlsa.
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, u holda quyidagi tengliklar bajariladi:
x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0.
Yechim misollari
1-misol ... P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ni (x - 1/3) bo'lishning qolgan qismini toping.
Yechim. Bezout teoremasidan kelib chiqqan holda: «Ko‘phadni binomiga (x - c) bo‘lishning qolgan qismi ko‘phadning c dagi qiymatiga teng». R (1/3) = 0 ni topamiz. Demak, qoldiq 0 ga teng, 1/3 soni esa ko’phadning ildizidir.
Javob: R = 0.
2-misol ... 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 burchak bilan (x + 2) bo'linadi. Qolgan va toʻliq boʻlmagan qismni toping.
Yechim:
2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2
2x 3 + 4x 2 2x 2 - x
X 2 - 2x
X 2 - 2x
Javob: R = 3; shaxsiy: 2x 2 - x.
Yuqori darajali tenglamalarni yechishning asosiy usullari
1. Yangi o'zgaruvchini kiritish
Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli shundan iboratki, f (x) = 0 tenglamasini yechish uchun yangi o'zgaruvchi (almashtirish) t = xn yoki t = g (x) kiritiladi va f (x) t shaklida ifodalanadi, yangi r (t) tenglamani olish ... Keyin r (t) tenglamani yechishda ildizlar topiladi: (t 1, t 2,…, t n). Shundan so'ng q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n n ta tenglamalar to'plami olinadi, ulardan dastlabki tenglamaning ildizlari topiladi.
Misol;(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
Yechish: (x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
O'zgartirish (x 2 + x + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Teskari almashtirish:
x 2 + x + 1 = 2 yoki x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 yoki x 2 + x = 0;
Birinchi tenglamadan: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, ikkinchisidan: 0 va -1.
Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli echishda qo'llanilishini topadi qaytarilishi mumkin tenglamalar, ya'ni a 0 xn + a 1 xn - 1 + .. + an - 1 x + an = 0 ko'rinishidagi tenglamalar, bunda tenglama shartlarining koeffitsientlari boshidan va oxiridan teng masofada joylashgan, teng.
2. Guruhlash va kichraytirilgan ko‘paytirish formulalarini ko‘paytmalarga ajratish
asos bu usul atamalarni shunday guruhlashdan iboratki, har bir guruh umumiy omilni o‘z ichiga oladi. Buning uchun ba'zan siz ba'zi sun'iy usullardan foydalanishingiz kerak.
Misol: x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Yechim. Tasavvur qiling - 3x 2 = -2x 2 - x 2 va guruh:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.
x 2 - x + 1 = 0 yoki x 2 + x - 3 = 0.
Birinchi tenglamada ildiz yo'q, ikkinchidan: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.
3. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan faktoring
Usulning mohiyati shundan iboratki, dastlabki ko'phad koeffitsientlari noma'lum bo'lgan omillarga ajraladi. Ko'phadlarning koeffitsientlari bir xil darajalarda teng bo'lsa, ularning teng bo'lish xususiyatidan foydalanib, noma'lum kengayish koeffitsientlari topiladi.
Misol: x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Yechim. 3-darajali ko'phadni chiziqli va kvadrat ko'paytmaga kengaytirish mumkin.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (c - ab) x - ac.
Tizimni hal qilgandan so'ng:
olish
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
(x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 tenglamaning ildizlarini topish oson.
Javob: -1; -2.
4. Eng yuqori va erkin koeffitsientga asoslangan ildiz tanlash usuli
Usul teoremalarni qo'llashga asoslangan:
1) Butun sonli koeffitsientli ko'phadning istalgan butun ildizi erkin hadning bo'luvchisi hisoblanadi.
2) qaytarilmas kasr p / q (p - butun son, q - natural) butun sonli koeffitsientli tenglamaning ildizi bo'lishi uchun p soni a 0 erkin hadining butun bo'luvchisi bo'lishi kerak. , va q - etakchi koeffitsientning tabiiy bo'luvchisi.
Misol: 6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
Yechim:
2: p = ± 1, ± 2
6: q = 1, 2, 3, 6.
Shuning uchun, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.
Bitta ildizni topib, masalan - 2, boshqa ildizlarni burchak bilan bo'lish, aniqlanmagan koeffitsientlar usuli yoki Horner sxemasi yordamida topamiz.
Javob: -2; 1/2; 1/3.
5. Grafik usul.
Bu usul grafiklarni chizish va funksiyalarning xossalaridan foydalanishdan iborat.
Misol: x 5 + x - 2 = 0
Tenglamani x 5 = - x + 2 ko'rinishda tasvirlaymiz. y = x 5 funktsiya ortib bormoqda, y = - x + 2 funksiya esa kamaymoqda. Demak, x 5 + x - 2 = 0 tenglama bitta ildiz -1 ga ega.
6. Tenglamani funksiyaga ko‘paytirish.
Ba'zan algebraik tenglamaning yechimi, agar siz ikkala tomonni biron bir funktsiyaga - noma'lum ko'phadga ko'paytirsangiz, ancha osonlashadi. Shuni esda tutish kerakki, keraksiz ildizlar paydo bo'lishi mumkin - tenglama ko'paytirilgan polinomning ildizlari. Shuning uchun, yoki ildizi bo'lmagan ko'phadga ko'paytirib, ekvivalent tenglamani olish kerak yoki ildizlari bo'lgan ko'phadga ko'paytirish kerak, keyin esa bu ildizlarning har biri dastlabki tenglamaga almashtirilishi va bu raqam uning ildizi ekanligini aniqlash kerak.
Misol. Tenglamani yeching:
X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1 = 0. (1)
Yechim: Tenglamaning ikkala tomonini ildizlari bo'lmagan X 2 + 1 ko'phadga ko'paytirsak, biz tenglamani olamiz:
(X 2 +1) (X 8 - X 6 + X 4 - X 2 + 1) = 0 (2)
(1) tenglamaga ekvivalent. (2) tenglama quyidagicha yozilishi mumkin:
X 10 + 1 = 0 (3)
Ko'rinib turibdiki, (3) tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q, shuning uchun (1) tenglamada ularga ega emas.
Javob: yechimlar yo'q.
Yuqori darajadagi tenglamalarni echishning yuqoridagi usullaridan tashqari, boshqalar ham mavjud. Masalan, to'liq kvadratni tanlash, Xorner sxemasi, kasrni ikki kasr shaklida tasvirlash. Kimdan umumiy usullar Ko'pincha topiladigan yuqori darajali tenglamalar yechimlari quyidagilardan foydalanadi: tenglamaning chap tomonini omillarga ajratish usuli;
o'zgaruvchini o'zgartirish usuli (yangi o'zgaruvchini kiritish usuli); grafik usul. Bu usullarni 9-sinf o‘quvchilariga “Barcha tenglama va uning ildizlari” mavzusini o‘rganishda tanishtiramiz. Algebra 9 darsligida (mualliflar Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G va boshqalar) so'nggi yillar nashrlarda yuqori darajadagi tenglamalarni echishning asosiy usullarini etarlicha batafsil ko'rib chiqing. Bundan tashqari, “Ko‘proq bilishni hohlovchilar uchun” bo‘limida menimcha, ko‘p nomli ildiz va butun tenglamaning integral ildizlari haqidagi teoremalarni yuqori darajali tenglamalarni yechishda qo‘llash bo‘yicha materiallar mavjud. Yaxshi tayyorlangan o'quvchilar ushbu materialni qiziqish bilan o'rganadilar va keyin yechilgan tenglamalarni sinfdoshlariga taqdim etadilar.
Bizni o'rab turgan deyarli hamma narsa u yoki bu darajada matematika bilan bog'liq. Va fizika, texnologiya sohasidagi yutuqlar, axborot texnologiyalari faqat buni tasdiqlang. Va eng muhimi - ko'plab amaliy muammolarni hal qilish, echishni o'rganish kerak bo'lgan har xil turdagi tenglamalarni echish bilan bog'liq.
Tenglamalarni yechish usullari: n n n h (f (x)) = h (g (x)) tenglamani f (x) = g (x) tenglamaga almashtirish. Yangi o'zgaruvchini kiritish. Funktsional jihatdan - grafik usul. Ildizlarni tanlash. Vieta formulalarini qo'llash.
h (f (x)) = h (g (x)) tenglamasini f (x) = g (x) tenglama bilan almashtirish. Usul faqat y = h (x) har bir qiymatni bir marta qabul qiladigan monotonik funktsiya bo'lganda foydalanish mumkin. Agar funktsiya monoton bo'lmasa, unda ildizlarning yo'qolishi mumkin.
(3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) ²³ y = x ²³ ortib borayotgan funktsiya tenglamasini yeching, shuning uchun (3 x + 2) ²³ = (5 x - 9) ²³ tenglamasidan siz quyidagiga o'tishingiz mumkin 3 x + 2 = 5 x - 9 tenglama, bundan x = 5, 5 ni topamiz. Javob: 5, 5.Faktorizatsiya. f (x) g (x) h (x) = 0 tenglama f (x) = 0 tenglamalar to'plami bilan almashtirilishi mumkin; g (x) = 0; h (x) = 0. Ushbu to'plamning tenglamalarini yechgandan so'ng, siz asl tenglama sohasiga tegishli bo'lgan ildizlarni olishingiz va qolganlarini begona deb tashlashingiz kerak.
Tenglamani yeching x³ - 7 x + 6 = 0 7 x atamasini x + 6 x ko'rinishida ifodalab, biz ketma-ket hosil bo'lamiz: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x (x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 Endi masala x - 1 = tenglamalar to'plamini yechishga keltiriladi. 0; x² + x - 6 = 0. Javob: 1, 2, - 3.
Yangi o'zgaruvchini kiritish. Agar y (x) = 0 tenglamasini p (g (x)) = 0 ko'rinishiga aylantirish mumkin bo'lsa, u holda siz yangi u = g (x) o'zgaruvchisini kiritishingiz kerak, p (u) = 0 tenglamasini yeching, va keyin g ( x) = u 1 tenglamalar to'plamini yeching; g (x) = u 2; ...; g (x) = un, bu yerda u 1, u 2,..., un p (u) = 0 tenglamaning ildizlari.
Tenglamani yeching Bu tenglamaning xususiyati uning uchlaridan teng masofada joylashgan chap tomoni koeffitsientlarining tengligidir. Bunday tenglamalar takrorlanuvchi deb ataladi. Chunki 0 ildiz emas bu tenglama, x² ga bo'linib, olamiz
Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz Keyin kvadrat tenglamani olamiz Demak, y 1 = - 1 ildiziga e'tibor bermaslik mumkin. Javobni olamiz: 2, 0, 5.
6 (x² - 4) ² + 5 (x² - 4) (x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12) ² = 0 tenglamani yeching, bu tenglamani bir jinsli sifatida yechish mumkin. Tenglamaning ikkala tomonini (x² - 7 x +12) ² ga bo'ling (aniq, x ning qiymatlari x² - 7 x + 12 = 0 yechim emas). Endi bizda shunday javob borligini belgilaylik:
Funktsional jihatdan - grafik usul. Agar y = f (x), y = g (x) funksiyalardan biri ortib, ikkinchisi kamaysa, f (x) = g (x) tenglama yo ildizga ega emas yoki bitta ildizga ega.
Tenglamani yechish X = 2 tenglamaning ildizi ekanligi juda aniq. Keling, bu yagona ildiz ekanligini isbotlaylik. Tenglamani ko'rinishga o'tkazamiz E'tibor bering, funktsiya ortadi va funktsiya kamayadi. Demak, tenglama faqat bitta ildizga ega. Javob: 2.
Ildizlarni tanlash n n n 1-teorema: Agar m butun son koeffitsientli ko’phadning ildizi bo’lsa, ko’phadning erkin hadi m ga bo’linadi. 2-teorema: Butun sonli koeffitsientli qisqartirilgan ko'phadning kasr ildizlari yo'q. 3-teorema: - butun sonli tenglama Koeffitsientlar bo'lsin. Agar p va q butun sonlar bo‘lgan son va kasr qaytarilmas bo‘lsa, tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda p erkin a hadning bo‘luvchisi, q esa a 0 bosh hadidagi koeffitsientning bo‘luvchisi hisoblanadi.
Bezout teoremasi. Har qanday ko‘phadni binomiga (x - a) bo‘lishda qolgan qismi bo‘linuvchi ko‘phadning x = adagi qiymatiga teng bo‘ladi. Bezout teoremasining oqibatlari n n n n Ikki sonning bir xil darajalari ayirmasi bir xil sonlar ayirmasiga qoldiqsiz bo'linadi; Ikki sonning bir xil juft darajalari ayirmasi shu sonlarning ayirmasi bilan ham, yig‘indisi bilan ham qoldiqsiz bo‘linadi; Ikki sonning bir xil toq darajalari farqi bu sonlar yig'indisiga bo'linmaydi; Ikki bo'lmagan sonning bir xil darajalari yig'indisi bu sonlarning farqiga bo'linadi; Ikki sonning bir xil toq darajalari yig'indisi shu sonlar yig'indisiga qoldiqsiz bo'linadi; Ikki sonning bir xil juft darajalari yig'indisi bu sonlarning farqiga ham, ularning yig'indisiga ham bo'linmaydi; Ko‘phad to‘liq binomga (x - a) bo‘linadi, agar a soni berilgan ko‘phadning ildizi bo‘lsa; Nolga teng bo'lmagan ko'phadning aniq ildizlari soni ko'pi bilan uning darajasiga teng.
x³ - 5 x² - x + 21 = 0 tenglamani yeching. x³ - 5 x² - x + 21 ko'phad butun sonli koeffitsientlarga ega. 1-teoremaga ko'ra, uning butun ildizlari, agar mavjud bo'lsa, erkin atamaning bo'luvchilari qatoriga kiradi: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Tekshirish orqali biz 3 sonining ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Bezout teoremasining natijasi bo‘yicha ko‘phad (x - 3) ga bo‘linadi. Shunday qilib, x³– 5 x² - x + 21 = (x - 3) (x²– 2 x - 7). Javob:
2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 tenglamani yeching. 1-teoremaga ko'ra, tenglamaning butun ildizlari faqat ± 1 sonlar bo'lishi mumkin. Tekshirish shuni ko'rsatadiki, bu raqamlar ildiz emas. Tenglama kamaytirilmagani uchun u kasr ratsional ildizlariga ega bo'lishi mumkin. Keling, ularni topamiz. Buning uchun tenglamaning ikkala tomonini 4 ga ko'paytiramiz: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 2 x = t almashtirishni amalga oshirsak, biz t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0 ni olamiz. 2-teorema bo'yicha , bu qisqartirilgan tenglamaning barcha ratsional ildizlari butun bo'lishi kerak. Ularni erkin hadning bo'luvchilari orasida topish mumkin: ± 1, ± 2, ± 4. Bu holda, t = - 1. Demak, Bezout teoremasining xulosasiga ko'ra, 2 x³ - 5 x² - x + ko'phad. 1 soni (x + 0, 5 ) ga bo'linadi: 2 x³ - 5 x² - x + 1 = (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) 2 x² - 6 x + 2 kvadrat tenglamani yechish = 0, qolgan ildizlarni topamiz: Javob:
6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 tenglamani yeching. 3-teoremaga ko'ra, bu tenglamaning ratsional ildizlarini sonlar orasidan izlash kerak. Ularni tenglamaga birma-bir almashtirib, tenglama qanoatlanayotganini topamiz. Ular tenglamaning barcha ildizlarini tugatadi. Javob:

x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 tenglamaning ildizlari kvadratlari yig‘indisini toping Veta teoremasi bo‘yicha.

Ushbu tenglamalarning har birini yechish uchun qaysi usuldan foydalanish mumkinligini ko'rsating. № 1, 4, 15, 17 tenglamalarni yeching.
Javoblar va yo'nalishlar: 1. Yangi o'zgaruvchini kiritish. 2. Funktsional - grafik usul. 3. h (f (x)) = h (g (x)) tenglamani f (x) = g (x) tenglama bilan almashtirish. 4. Faktorizatsiya. 5. Ildizlarni tanlash. 6 Funktsional - grafik usul. 7. Vieta formulalarini qo'llash. 8. Ildizlarni tanlash. 9. h (f (x)) = h (g (x)) tenglamani f (x) = g (x) tenglama bilan almashtirish. 10. Yangi o'zgaruvchining kiritilishi. 11. Faktorizatsiya. 12. Yangi o'zgaruvchining kiritilishi. 13. Ildizlarni tanlash. 14. Vieta formulalarini qo'llash. 15. Funktsional - grafik usul. 16. Faktorizatsiya. 17. Yangi o'zgaruvchini kiritish. 18. Faktorizatsiya.
1. Ko'rsatma. Tenglamani 4 (x² + 17 x + 60) (x + 16 x + 60) = 3 x² shaklida yozing, Ikkala tomonni ham x² ga bo'ling. O'zgaruvchini kiriting Javob: x 1 = - 8; x 2 = - 7, 5. 4. Eslatma. Tenglamaning chap tomoniga 6 y va - 6 y qo'shing va uni (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2) (y² -) shaklida yozing. 3 yosh - sakkiz). Javob:
14. Ko'rsatkich. Vyeta teoremasi boʻyicha. Butun sonlar boʻlgani uchun tenglamaning ildizlari faqat sonlar boʻlishi mumkin - 1, - 2, - 3. Javob: 15. Javob: - 1. 17. Koʻrsatkich. Tenglamaning ikkala tomonini x² ga bo'ling va uni Enter o'zgaruvchisi sifatida yozing Javob: 1; 15; 2; 3.
Bibliografiya. n n n Kolmogorov A. N. "Algebra va tahlilning boshlanishi, 10 - 11" (Moskva: Ta'lim, 2003). Bashmakov M. I. "Algebra va tahlilning boshlanishi, 10 - 11" (Moskva: Ta'lim, 1993). Mordkovich A. G. "Algebra va tahlilning boshlanishi, 10 - 11" (M.: Mnemosina, 2003). Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M. va boshqalar "Algebra va tahlilning boshlanishi, 10 - 11" (Moskva: Ta'lim, 2000). Galitskiy ML, Gol'dman AM, Zvavich LI "Algebra masalalari to'plami, 8 - 9" (Moskva: Ta'lim, 1997). Karp A. P. "Algebra bo'yicha muammolar to'plami va tahlil tamoyillari, 10 - 11" (Moskva: Ta'lim, 1999). Sharygin I. F. "Matematikaning ixtiyoriy kursi, muammolarni hal qilish, 10" (Moskva: Ta'lim. 1989).
Skopets Z. A. "Matematika kursi bo'yicha qo'shimcha boblar, 10" (Moskva: Ta'lim, 1974). Litinskiy G. I. "Matematika darslari" (M.: Aslan, 1994). Muravin G. K. "Tenglamalar, tengsizliklar va ularning tizimlari" (Matematika, "1-sentyabr" gazetasiga qo'shimcha, 2003 yil 2, 3-son). Kolyagin Yu. M. "Yuqori darajali polinomlar va tenglamalar" (Matematika, "1-sentyabr" gazetasiga qo'shimcha, 2005 yil 3-son).
O'ylab ko'ring bir o'zgaruvchisi ikkinchisidan yuqori bo'lgan tenglamalar yechimlari.
P (x) = 0 tenglamasining darajasi P (x) polinomining darajasi, ya'ni. koeffitsienti nolga teng bo'lmagan uning shartlari darajalarining eng kattasi.
Masalan, (x 3 - 1) 2 + x 5 = x 6 - 2 tenglama beshinchi darajaga ega, chunki qavslarni ochish va shunga o'xshashlarni olib kelish operatsiyalaridan so'ng biz beshinchi darajaning x 5 - 2x 3 + 3 = 0 ekvivalent tenglamasini olamiz.
Ikkidan yuqori darajali tenglamalarni yechish uchun kerak bo'ladigan qoidalarni eslaylik.
Ko‘phadning ildizlari va uning bo‘luvchilari haqidagi gaplar:
1. n-darajali ko'phadning ildizlar soni ko'pi bilan n bo'ladi va m ko'paytmaning ildizlari aynan m marta sodir bo'ladi.
2. Toq darajali polinom kamida bitta haqiqiy ildizga ega.
3. Agar a P (x) ning ildizi bo'lsa, u holda P n (x) = (x - a) Q n - 1 (x), bu erda Q n - 1 (x) darajali ko'phad (n - 1).
4.
5. Butun sonli koeffitsientli qisqartirilgan polinom kasrli ratsional ildizlarga ega bo'lishi mumkin emas.
6. 3 darajali polinom uchun
P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ikkita narsadan biri mumkin: yoki u uchta binom ko'paytmasiga parchalanadi.
R 3 (x) = a (x - a) (x - b) (x - g), yoki binomial va kvadrat uch alamli R 3 (x) = a (x - a) ko'paytmasiga ajralishi mumkin. (x 2 + bx + g ).
7. To'rtinchi darajali har qanday ko'phadni ikkita kvadrat uch a'zoning ko'paytmasiga ajratish mumkin.
8. f (x) ko'phad, f (x) = g (x) q (x) ko'phadli q (x) bo'lsa, g (x) ko'phadga qoldiqsiz bo'linadi. Polinomlarni bo'lish uchun "burchak bo'linishi" qoidasi qo'llaniladi.
9. P (x) ko‘phadning binomiga (x - c) bo‘linishi uchun c soni P (x) ning ildizi bo‘lishi zarur va yetarli (Bezout teoremasining xulosasi).
10. Vyeta teoremasi: Agar x 1, x 2, ..., x n koʻphadning haqiqiy ildizlari boʻlsa.
P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, u holda quyidagi tengliklar bajariladi:
x 1 + x 2 + ... + x n = -a 1 / a 0,
x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n = a 2 / a 0,
x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n = -a 3 / a 0,
x 1 x 2 x 3 x n = (-1) n a n / a 0.
Yechim misollari
1-misol.
P (x) = x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 ni (x - 1/3) bo'lishning qolgan qismini toping.
Yechim.
Bezout teoremasidan kelib chiqqan holda: «Ko‘phadni binomiga (x - c) bo‘lishning qolgan qismi ko‘phadning c dagi qiymatiga teng». R (1/3) = 0 ni topamiz. Demak, qoldiq 0 ga teng, 1/3 soni esa ko’phadning ildizidir.
Javob: R = 0.
2-misol.
2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 burchak bilan (x + 2) bo'linadi. Qolgan va toʻliq boʻlmagan qismni toping. 
Yechim:
2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 | x + 2
2x 3 + 4 x 2 2x 2 - x
X 2 - 2 x
Javob: R = 3; shaxsiy: 2x 2 - x.
Yuqori darajali tenglamalarni yechishning asosiy usullari
1. Yangi o'zgaruvchini kiritish
Yangi o'zgaruvchini kiritish usuli bi misolida allaqachon tanish kvadrat tenglamalar... Bu f (x) = 0 tenglamasini yechish uchun yangi o'zgaruvchi (almashtirish) t = xn yoki t = g (x) kiritilishi va f (x) t shaklida ifodalanishi, yangisini olishdan iborat. r (t) tenglamasi. Keyin, r (t) tenglamani yechishda, ildizlar topiladi:
(t 1, t 2, ..., t n). Shundan so'ng q (x) = t 1, q (x) = t 2, ..., q (x) = t n n ta tenglamalar to'plami olinadi, ulardan dastlabki tenglamaning ildizlari topiladi.
1-misol.
(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.
Yechim:
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.
(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.
O'zgartirish (x 2 + x + 1) = t.
t 2 - 3t + 2 = 0.
t 1 = 2, t 2 = 1. Teskari almashtirish:
x 2 + x + 1 = 2 yoki x 2 + x + 1 = 1;
x 2 + x - 1 = 0 yoki x 2 + x = 0;
Javob: Birinchi tenglamadan: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, ikkinchidan: 0 va -1.
2. Guruhlash va kichraytirilgan ko‘paytirish formulalarini ko‘paytmalarga ajratish
Ushbu usulning asosi ham yangi emas va atamalarni har bir guruh umumiy omilni o'z ichiga oladigan tarzda guruhlashdan iborat. Buning uchun ba'zan siz ba'zi sun'iy usullardan foydalanishingiz kerak.
1-misol.
x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.
Yechim.
Tasavvur qiling - 3x 2 = -2x 2 - x 2 va guruh:
(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.
(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.
(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.
(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 = 0.
(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.
(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.
x 2 - x + 1 = 0 yoki x 2 + x - 3 = 0.
Javob: Birinchi tenglamada ildiz yo'q, ikkinchidan: x 1, 2 = (-1 ± √13) / 2.
3. Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan faktoring
Usulning mohiyati shundan iboratki, dastlabki ko'phad koeffitsientlari noma'lum bo'lgan omillarga ajraladi. Ko'phadlarning koeffitsientlari bir xil darajalarda teng bo'lsa, ularning teng bo'lish xususiyatidan foydalanib, noma'lum kengayish koeffitsientlari topiladi.
1-misol.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.
Yechim.
3-darajali ko'phadni chiziqli va kvadrat ko'paytmaga kengaytirish mumkin.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x - a) (x 2 + bx + c),
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.
Tizimni hal qilgandan so'ng:
(b - a = 4,
(c - ab = 5,
(-ac = 2,
(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, ya'ni.
x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).
(x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 tenglamaning ildizlarini topish oson.
Javob: -1; -2.
4. Eng yuqori va erkin koeffitsientga asoslangan ildiz tanlash usuli 
Usul teoremalarni qo'llashga asoslangan:
1) Butun koeffitsientli ko'phadning har qanday butun ildizi kesmaning bo'luvchisi hisoblanadi.
2) Kamaytirilmaydigan kasr p / q (p - butun son, q - natural) butun sonli koeffitsientli tenglamaning ildizi bo'lishi uchun p soni a 0 erkin hadining butun bo'luvchisi bo'lishi kerak va q - etakchi koeffitsientning tabiiy bo'luvchisi.
1-misol.
6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.
Yechim:
6: q = 1, 2, 3, 6.
Shuning uchun, p / q = ± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/3, ± 2/3, ± 1/6.
Bitta ildizni topib, masalan - 2, boshqa ildizlarni burchak bilan bo'lish, aniqlanmagan koeffitsientlar usuli yoki Horner sxemasi yordamida topamiz.
Javob: -2; 1/2; 1/3.
Hali ham savollaringiz bormi? Tenglamalarni qanday yechishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!
blog. sayti, material to'liq yoki qisman nusxalangan holda, manbaga havola kerak.
Algebraik tenglamalarni yechishda ko'pincha ko'phadni ko'paytirish kerak bo'ladi. Ko'phadni ko'paytiruvchi ko'paytirish deganda uni ikki yoki undan ortiq ko'phadning ko'paytmasi sifatida ifodalash tushuniladi. Biz ko'p sonli qismlarni parchalashning ba'zi usullarini tez-tez ishlatamiz: umumiy omilni olib tashlash, qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni qo'llash, to'liq kvadratni tanlash, guruhlash. Keling, yana bir nechta usullarni ko'rib chiqaylik.
Ba'zida ko'phadni faktorlarga ajratishda quyidagi iboralar foydali bo'ladi:
1) agar butun koeffitsientli ko'phad ratsional ildizga ega bo'lsa (bu erda kamaytirilmaydigan kasr, u holda bo'sh hadning bo'luvchisi va etakchi koeffitsientning bo'luvchisi:
2) Agar darajali ko‘phadning ildizi qandaydir tarzda tanlansa, u holda ko‘phadni darajali ko‘phad bo‘lgan ko‘rinishda ko‘rsatish mumkin.
Ko‘phadni ko‘phadni binomiga “ustun”ga bo‘lish yo‘li bilan yoki ko‘phadning hadlarini mos guruhlash va ulardan koeffitsient olish yo‘li bilan yoki aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan topish mumkin.
Misol. Omilli polinom
Yechim. X4 koeffitsienti 1 bo'lgani uchun, bu ko'phadning ratsional ildizlari mavjud, 6 ning bo'luvchilari, ya'ni ular ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 butun sonlar bo'lishi mumkin. Bu ko‘phadni P4 (x) bilan belgilaymiz. R R4 (1) = 4 va R4 (-4) = 23 bo'lgani uchun 1 va -1 raqamlari PA (x) ko'phadning ildizi emas. P4 (2) = 0 bo'lgani uchun x = 2 P4 (x) ko'phadning ildizi bo'ladi va demak, bu ko'phad x - 2 binomiga bo'linadi. Demak, x4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x. -2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3
3x3 + 7x2 -5x +6
3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x
Shuning uchun P4 (x) = (x - 2) (x3 - 3x2 + x - 3). Chunki xz - Zx2 + x - 3 = x2 (x - 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 1), keyin x4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 = (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1).
Parametrlarni kiritish usuli
Ba'zan ko'phadni omillarga ko'paytirishda parametrni kiritish usuli yordam beradi. Ushbu usulning mohiyati quyidagi misolda ko'rsatilgan.
Misol. x3 - (√3 + 1) x2 + 3.
Yechim. a parametrli ko'phadni ko'rib chiqaylik: x3 - (a + 1) x2 + a2, a = √3 uchun berilgan ko'phadga aylanadi. Bu ko'phadni a ga nisbatan kvadrat uch a'zo sifatida yozamiz: a - ax2 + (x3 - x2).
Bu kvadrat uch a'zoning a ga nisbatan ildizlari a1 = x va a2 = x2 - x bo'lgani uchun a2 - ax2 + (xs - x2) = (a - x) (a - x2 + x) tengligi to'g'ri bo'ladi. Binobarin, x3 - (√3 + 1) x2 + 3 ko'phad √3 - x va √3 - x2 + x omillarga ajraladi, ya'ni.
x3 - (√3 + 1) x2 + 3 = (x-√3) (x2-x-√3).
Yangi noma'lumni kiritish usuli
Ba'zi hollarda Pn (x) ko'phadga kiritilgan f (x) ifodani y orqali almashtirib, y ga nisbatan ko'phadni olish mumkin bo'ladi, uni allaqachon osonlik bilan ko'paytmalarga ajratish mumkin. Keyin, y ni f (x) ga almashtirgandan so'ng, biz Pn (x) ko'phadning koeffitsientini olamiz.
Misol. x (x + 1) (x + 2) (x + 3) ko'phadni -15 ko'paytiring.
Yechim. Bu ko‘phadni quyidagicha o‘zgartiramiz: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 = [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 = ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.
x2 + 3x ni y bilan belgilaymiz. U holda bizda y (y + 2) - 15 = y2 + 2y - 15 = y2 + 2y + 1 - 16 = (y + 1) 2 - 16 = (y + 1 + 4) (y + 1 - 4) = ( y + 5) (y - 3).
Demak, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 = (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).
Misol. (x-4) ko‘phadni 4+ (x + 2) 4 ko‘paytiring
Yechim. X- 4 + x + 2 = x - 1 dan y gacha belgilaymiz.
(x - 4) 4 + (x + 2) 2 = (y - 3) 4 + (y + 3) 4 = y4 - 12y3 + 54y3 - 108y + 81 + y4 + 12y3 + 54y2 + 108y + 81 =
2y4 + 108y2 + 162 = 2 (y4 + 54y2 + 81) = 2 [(y2 + 27) 2 - 648] = 2 (y2 + 27 - √b48) (y2 + 27 + √b48) =
2 ((x-1) 2 + 27-√b48) ((x-1) 2 + 27 + √b48) = 2 (x2-2x + 28- 18√ 2) (x2- 2x + 28 + 18√ 2 ).
Turli usullarni birlashtirish
Ko'pincha, ko'phadni omillarga ajratishda yuqorida ko'rib chiqilgan usullarning bir nechtasini ketma-ket qo'llash kerak bo'ladi.
Misol. x4 - 3x2 + 4x-3 ko'phadni ko'paytiring.
Yechim. Guruhlashdan foydalanib, ko'phadni x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3) shaklida qayta yozamiz.
Birinchi qavsga to'liq kvadratni tanlash usulini qo'llash orqali bizda x4 - 3x3 + 4x - 3 = (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4) mavjud.
To'liq kvadrat formulasini qo'llagan holda, endi x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 -1) 2 - (x - 2) 2 ekanligini yozishimiz mumkin.
Nihoyat, kvadratlar farqi formulasini qo'llagan holda, biz x4 - 3x2 + 4x - 3 = (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) = (x2 + x-3) (x2) ni olamiz. -x + 1).