§4. Ratsional tenglamalar
H (x) va Q (x) ko'phadlar bo'lgan = 0 ko'rinishdagi tenglamalar ratsional deyiladi.
H (x) = 0 tenglamaning ildizlarini topib, u holda ulardan qaysi biri Q (x) = 0 tenglamaning ildizi emasligini tekshirish kerak. Bu ildizlar va faqat ular tenglamaning echimlari bo'ladi.
= 0 ko'rinishdagi tenglamani yechishning ba'zi usullarini ko'rib chiqing.
1. Shaklning tenglamalari
Tenglama
(1) raqamlar bo'yicha ma'lum sharoitlarda quyidagi tarzda hal qilinishi mumkin. (1) tenglama shartlarini ikkitaga guruhlab, har bir juftlikni yig‘ib, birinchi yoki nol darajali sanoqli ko‘phadlarda faqat son ko‘rsatkichlari bo‘yicha, maxrajlarida esa x ni o‘z ichiga olgan bir xil ikki hadli uch a’zolarni olish kerak. , keyin o'zgaruvchilar o'zgargandan so'ng, tenglama ham (1) ko'rinishga ega bo'ladi, lekin kamroq sonli a'zolarga ega bo'ladi yoki u ikkita tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'ladi, ulardan biri birinchi darajali va ikkinchisi (1) ko'rinishdagi tenglama bo'ladi, lekin kamroq sonli atamalar bilan.
Misol. Tenglamani yeching
Yechim. (2) tenglamaning chap tomonida birinchi hadni oxirgi, ikkinchisini oxirgidan oldingi bilan guruhlab, (2) tenglamani ko'rinishda qayta yozamiz.
Har bir qavs ichidagi atamalarni jamlab, (3) tenglamani ko’rinishga qayta yozamiz
(4) tenglamaning yechimi yo'qligi sababli, bu tenglamani ga bo'lib, biz tenglamani olamiz.
, (5) tenglamaga (4) ekvivalent. Noma'lumning o'zgarishini qilamiz, keyin (5) tenglama ko'rinishda qayta yoziladi
Shunday qilib, chap tomonida beshta hadli (2) tenglamaning yechimi bir xil shakldagi, lekin chap tomonida uchta hadli (6) tenglamaning yechimiga keltiriladi. (6) tenglamaning chap tomonidagi barcha shartlarni jamlab, uni shaklda qayta yozamiz
Tenglamaning yechimlari mavjud va. Bu raqamlarning hech biri maxrajni nolga tenglashtirmaydi ratsional funktsiya(7) tenglamaning chap tomonida. Demak, (7) tenglama bu ikki ildizga ega va shuning uchun dastlabki tenglama (2) tenglamalar to'plamiga ekvivalentdir.
Ushbu to'plamning birinchi tenglamasining yechimlari
Ushbu to'plamdan ikkinchi tenglamaning yechimlari
Demak, asl tenglamaning ildizlari bor
2. Shaklning tenglamalari
Tenglama
(8) raqamlar bo'yicha ma'lum sharoitlarda quyidagicha yechish mumkin: tenglamaning har bir qismidagi butun qismni tanlash kerak, ya'ni (8) tenglamani tenglama bilan almashtirish kerak.
Uni (1) shaklga qisqartiring va keyin uni oldingi paragrafda tasvirlangan tarzda hal qiling.
Misol. Tenglamani yeching
Yechim. (9) tenglamani ko’rinishda yoki ko’rinishda yozamiz
Qavslar ichidagi atamalarni jamlab, (10) tenglamani shunday qayta yozamiz
Noma'lumni almashtirib, (11) tenglamani ko'rinishga qayta yozamiz
(12) tenglamaning chap tomonidagi shartlarni jamlab, uni shaklda qayta yozamiz
(13) tenglamaning ikkita ildizi borligini tushunish oson: va. Shunday qilib, dastlabki tenglama (9) to'rtta ildizga ega:
3) Shaklning tenglamalari.
Raqamlar uchun ma'lum sharoitlarda (14) ko'rinishdagi tenglamani quyidagicha yechish mumkin: (14) tenglamaning chap tomonidagi kasrlarning har birini eng oddiy kasrlar yig'indisiga kengaytirish (agar bu, albatta, mumkin bo'lsa)
(14) tenglamani (1) shaklga keltiring, so'ngra hosil bo'lgan tenglama shartlarini qulay tarzda qayta tartibga solishni amalga oshirib, uni 1-bandda ko'rsatilgan usul bilan yeching.
Misol. Tenglamani yeching
Yechim. Chunki va demak, (15) tenglamadagi har bir kasrning payini 2 ga ko'paytirib, (15) tenglamani ko'rinishda yozish mumkin.
(16) tenglama (7) ko'rinishga ega. Ushbu tenglamadagi atamalarni qayta tartibga solib, biz uni shaklda yoki shaklda qayta yozamiz
(17) tenglama tenglamalar to'plamiga ekvivalent va
(18) to'plamning ikkinchi tenglamasini yechish uchun noma'lumni almashtiramiz.Keyin u ko'rinishda yoki ko'rinishda qayta yoziladi.
(19) tenglamaning chap tomonidagi barcha shartlarni jamlab, uni shunday yozing
Tenglamaning ildizlari bo'lmagani uchun (20) tenglamaning ham ildizlari yo'q.
To'plamning birinchi tenglamasi (18) bitta ildizga ega. Bu ildiz (18) to'plamning ikkinchi tenglamasining GDV ga kiritilganligi sababli, u (18) to'plamning yagona ildizidir va shuning uchun dastlabki tenglama .
4. Shaklning tenglamalari
Tenglama
(21) raqamlar bo'yicha ma'lum sharoitlarda va A shaklida chapdagi har bir atamaning vakilidan keyin (1) shakliga qisqartirilishi mumkin.
Misol. Tenglamani yeching
Yechim. (22) tenglamani ko'rinishda yoki ko'rinishda qayta yozamiz
Shunday qilib, (23) tenglama (1) ko'rinishga keltiriladi. Endi birinchi hadni oxirgi, ikkinchisini uchinchi bilan guruhlab, (23) tenglamani ko‘rinishda qayta yozamiz.
Bu tenglama tenglamalar to'plamiga ekvivalent va. (24)
To'plamning oxirgi tenglamasini (24) quyidagicha qayta yozish mumkin
Bu tenglamaning yechimlari mavjud va u (30) to‘plamning ikkinchi tenglamasining ODZ ga kiritilganligi sababli (24) to‘plam uchta ildizga ega: Ularning barchasi dastlabki tenglamaning yechimlari.
5. Shaklning tenglamalari.
Shakl tenglamasi (25)
Raqamlardagi ma'lum sharoitlarda noma'lumni almashtirish shakl tenglamasiga keltirilishi mumkin
Misol. Tenglamani yeching
Yechim. Bu (26) tenglamaning yechimi bo'lmagani uchun, chap tomondagi har bir kasrning pay va maxrajiga bo'lingan holda, biz uni shaklda qayta yozamiz.
O'zgaruvchilarni o'zgartirib, (27) tenglamani ko'rinishga qayta yozamiz
(28) tenglamani yechish va. Shuning uchun (27) tenglama tenglamalar to'plamiga ekvivalent va. (29)
Ish matni rasm va formulalarsiz joylashtirilgan.
To'liq versiya ish PDF formatidagi "Ish fayllari" yorlig'ida mavjud
Kirish
Yuqori darajali algebraik tenglamalarni bitta noma'lum bilan yechish eng qiyin va qadimiylardan biridir matematik muammolar... Ushbu masalalar bilan antik davrning eng ko'zga ko'ringan matematiklari shug'ullangan.
n-darajali tenglamalarni yechish zamonaviy matematikaning muhim vazifasidir. Ularga qiziqish juda katta, chunki bu tenglamalar matematika bo'yicha maktab o'quv dasturida hisobga olinmagan tenglamalarning ildizlarini izlash bilan chambarchas bog'liq.
Muammo: yuqori darajadagi tenglamalarni echish ko'nikmalarining etishmasligi turli yo'llar bilan talabalar o'rtasida matematika va matematika olimpiadalarida yakuniy attestatsiyaga muvaffaqiyatli tayyorgarlik ko'rishga, ixtisoslashtirilgan matematika sinfida dars berishga to'sqinlik qiladi.
Sanab o'tilgan faktlar aniqlandi dolzarbligi"Yuqori darajali tenglamalarni yechish" ishimiz.
N-darajali tenglamalarni echishning eng oddiy usullariga ega bo'lish ishning natijasi va o'quv jarayonining sifati bog'liq bo'lgan vazifani bajarish vaqtini qisqartiradi.
Ishning maqsadi: o'rganish ma'lum usullar yuqori darajali tenglamalarni yechish va eng qulaylarini aniqlash amaliy qo'llash.
Ushbu maqsaddan kelib chiqqan holda ishda quyidagilar aniqlandi vazifalar:
Ushbu mavzu bo'yicha adabiyotlar va Internet manbalarini o'rganish;
Ushbu mavzuga oid tarixiy faktlar bilan tanishish;
Yuqori darajali tenglamalarni yechishning turli usullarini tasvirlab bering
ularning har birining murakkablik darajasini solishtirish;
Sinfdoshlarni yuqori darajali tenglamalarni yechish usullari bilan tanishtirish;
Ko'rib chiqilgan usullarning har birini amaliy qo'llash uchun tenglamalar to'plamini tuzing.
O'rganish ob'ekti- bitta o'zgaruvchili yuqori darajali tenglamalar.
O'rganish mavzusi- yuqori darajali tenglamalarni yechish usullari.
Gipoteza: n-darajali tenglamalar yechimlarini chekli bosqichlarda topish imkonini beruvchi umumiy usul va yagona algoritm mavjud emas.
Tadqiqot usullari:
- bibliografik usul (tadqiqot mavzusi bo'yicha adabiyotlarni tahlil qilish);
- tasniflash usuli;
- sifat tahlili usuli.
Nazariy ahamiyati tadqiqot yuqori darajali tenglamalarni yechish usullarini tizimlashtirish va ularning algoritmlarini tavsiflashdan iborat.
Amaliy ahamiyati- ushbu mavzu va ishlanmalar bo'yicha taqdim etilgan material o'quv qo'llanma Ushbu mavzu bo'yicha talabalar uchun.
1 YUQORI DARAJA TENGLAMALARI
1.1 n-darajali tenglama haqida tushuncha
Ta'rif 1. n-darajali tenglama shakldagi tenglamadir
a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n = 0, bu erda koeffitsientlar a 0, a 1, a 2…, a n -1, a n- har qanday haqiqiy sonlar, va , a 0 ≠ 0 .
Polinom a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n darajali ko'phad deyiladi. Imkoniyatlar nomlari bilan ajralib turadi: a 0 - katta koeffitsient; a n bepul a'zo.
Ta'rif 2. Berilgan tenglamaning yechimlari yoki ildizlari o'zgaruvchining barcha qiymatlari X, bu tenglamani haqiqiy sonli tenglikka aylantiruvchi yoki ko'phad uchun a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n yo'qoladi. O'zgaruvchining bu qiymati X ko'phadning ildizi deb ham ataladi. Tenglamani yechish uning barcha ildizlarini topish yoki ularning mavjud emasligini aniqlash demakdir.
Agar a 0 = 1, u holda bunday tenglama qisqartirilgan butun son deb ataladi ratsional tenglama n th daraja.
Uchinchi va to'rtinchi darajali tenglamalar uchun bu tenglamalarning ildizlarini radikallar bilan ifodalovchi Kardano va Ferrari formulalari mavjud. Ma'lum bo'lishicha, ular amalda juda kam qo'llaniladi. Shunday qilib, agar n ≥ 3 bo'lsa va ko'phadning koeffitsientlari ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo'lsa, tenglamaning ildizlarini topish oson ish emas. Shunga qaramay, ko'plab maxsus holatlarda bu muammo oxirigacha hal qilinadi. Keling, ulardan ba'zilariga to'xtalib o'tamiz.
1.2 Tarixiy faktlar yuqori darajali tenglamalar yechimlari
Qadim zamonlarda odamlar algebraik tenglamalarni echishni o'rganish qanchalik muhimligini tushunishgan. Taxminan 4000 yil oldin Bobil olimlari kvadrat tenglamaning yechimini o'zlashtirdilar va ikkita tenglama tizimini yechdilar, ulardan biri ikkinchi darajali. Yuqori darajadagi tenglamalar yordamida geodeziya, arxitektura va harbiy ishlarning turli muammolari hal qilindi, ularga amaliyot va tabiatshunoslikning ko'plab va turli xil savollari qisqartirildi, chunki matematikaning aniq tili sizga faktlar va munosabatlarni oddiygina ifoda etishga imkon beradi, Bu oddiy tilda taqdim etilganda, chalkash va murakkab tuyulishi mumkin ...
Algebraik tenglamaning ildizlarini topish uchun universal formula nth daraja raqami. Ko‘pchilik, albatta, tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari bo‘yicha ifodalovchi, ya’ni radikallarda tenglamani yechiydigan har qanday n darajali formulalarni topish jozibali g‘oya bilan chiqdi.
Faqat 16-asrda italyan matematiklari yanada oldinga siljishga - n = 3 va n = 4 formulalarini topishga muvaffaq bo'lishdi. Shu bilan birga, Scipio, Dal, Ferro va uning shogirdlari Fiori va Tartalya umumiy yechim masalasi bilan shug'ullanishdi. 3-darajali tenglamalar.
1545 yilda italyan matematigi D.Kardanoning "Buyuk san'at yoki algebra qoidalari" kitobi nashr etildi, unda algebraning boshqa masalalari bilan bir qatorda kub tenglamalarni yechishning umumiy usullari ko'rib chiqildi. shogirdi L.Ferrari tomonidan kashf etilgan 4-darajali tenglamalarni yechish.
F.Vyet uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechish bilan bog‘liq savollarni to‘liq ko‘rsatib berdi.
19-asrning 20-yillarida norveg matematigi N.Abel beshinchi darajali tenglamalarning ildizlarini radikallar bilan ifodalab boʻlmasligini isbotladi.
Tadqiqot shuni ko'rsatdi zamonaviy fan n-darajali tenglamalarni yechishning ko'plab usullari mavjud.
Maktab o'quv dasturida ko'rib chiqilgan usullar bilan yechilmaydigan yuqori darajali tenglamalarni echish usullarini izlash natijasida Vyeta teoremasini qo'llashga asoslangan usullar (darajali tenglamalar uchun) paydo bo'ldi. n> 2), Bezout teoremalari, Horner sxemalari, shuningdek, kub tenglamalar va to'rtinchi darajali tenglamalarni yechish uchun Kardano-Ferrari formulasi.
Maqolada biz uchun kashfiyot bo'lgan tenglamalar va ularning turlarini echish usullari keltirilgan. Bularga - aniqlanmagan koeffitsientlar usuli, to'liq darajani tanlash, simmetrik tenglamalar kiradi.
2. YUQORI DARAJALI BUTUN TENGLAMALARNI BUTUN KOeffitsientli Yechish.
2.1 3-darajali tenglamalarni yechish. Formula D. Kardano
Shaklning tenglamalarini ko'rib chiqing x 3 + px + q = 0. Tenglamani o'zgartiramiz umumiy ko'rinish qaramoq: x 3 + px 2 + qx + r = 0. Yig'indi kubining formulasini yozamiz; Biz uni asl tenglikka qo'shamiz va uni almashtiramiz y... Biz tenglamani olamiz: y 3 + (q -) (y -) + (r - = 0). O'zgarishlardan so'ng bizda: y 2 + py + q = 0. Endi yana yig'indi kubining formulasini yozing:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b), almashtiring ( a + b)ustida x, tenglamani olamiz x 3 - 3abx - (a 3 + b 3) = 0. Endi siz dastlabki tenglama tizimga ekvivalent ekanligini ko'rishingiz mumkin: va tizimni yechish, biz quyidagilarni olamiz:
Biz 3-darajali qisqartirilgan tenglamani yechish formulasini oldik. U italiyalik matematik Kardanoning ismini oladi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Tenglamani yeching:.
Bizda ... bor R= 15 va q= 124, keyin Kardano formulasidan foydalanib, tenglamaning ildizini hisoblaymiz
Xulosa: bu formula yaxshi, lekin barcha kub tenglamalarni echish uchun yaxshi emas. Biroq, bu mashaqqatli. Shuning uchun amalda u kamdan-kam qo'llaniladi.
Ammo ushbu formulani o'zlashtirgan kishi imtihonda uchinchi darajali tenglamalarni echishda foydalanishi mumkin.
2.2 Vyeta teoremasi
Matematika kursidan biz bu teoremani kvadrat tenglama uchun bilamiz, lekin undan yuqori darajali tenglamalarni yechishda ham qoʻllanilishini kam odam biladi.
Tenglamani ko'rib chiqing:
tenglamaning chap tomonini koeffitsientga kiriting, ≠ 0 ga bo'ling.
Tenglamaning o'ng tomonini shaklga aylantiramiz
; shundan kelib chiqadiki, tizimga quyidagi tengliklarni yozish mumkin:
Kvadrat tenglamalar uchun Viet tomonidan olingan va uchinchi darajali tenglamalar uchun biz ko'rsatgan formulalar yuqori darajali ko'phadlar uchun ham to'g'ri keladi.
Kub tenglamani yechamiz:
Xulosa: Bu yerga universal va talabalar tushunishi oson, chunki Vyeta teoremasi ularga n uchun maktab o‘quv dasturidan tanish. = 2. Shu bilan birga, ushbu teoremadan foydalanib, tenglamalarning ildizlarini topish uchun yaxshi hisoblash qobiliyatiga ega bo'lish kerak.
2.3 Bezout teoremasi
Bu teorema 18-asr fransuz matematigi J. Bezout sharafiga nomlangan.
Teorema. Agar tenglama a 0 xⁿ + a 1 x n -1 + a 2 xⁿ - ² + ... + a n -1 x + a n = 0, bunda barcha koeffitsientlar butun sonlar va bo'sh muddat nolga teng bo'lmagan, butun son ildizga ega bo'lsa, bu ildiz erkin hadning bo'luvchisidir.
Tenglamaning chap tomonida ekanligini hisobga olsak polinom n daraja, u holda teorema boshqacha talqinga ega.
Teorema. n darajali ko'phadni ga nisbatan bo'lishda x binom x - a qolgan qismi dividendning qiymatiga teng x = a... (xat a har qanday haqiqiy yoki xayoliy sonni belgilashi mumkin, ya'ni. har qanday murakkab son).
Isbot: ruxsat bering f (x) x oʻzgaruvchisiga nisbatan ixtiyoriy n-darajali koʻphadni bildiradi va binomiga (() boʻlganda, kelsin. x-a) yashirincha sodir bo'ldi q (x), qolganlarida R... Bu aniq q (x) ba'zi polinom bo'ladi (n - 1) ga nisbatan x va qolganlari R doimiy qiymat bo'ladi, ya'ni. dan mustaqil x.
Qolgan bo'lsa R x ga nisbatan birinchi darajali ko‘phad bo‘lgan bo‘lsa, bu bo‘linish bajarilmaganligini bildiradi. Shunday qilib, R dan x bog'liq emas. Bo'linish ta'rifi bilan biz identifikatsiyani olamiz: f (x) = (x-a) q (x) + R.
Tenglik x ning har qanday qiymati uchun amal qiladi, demak u uchun ham amal qiladi x = a, biz olamiz: f (a) = (a-a) q (a) + R... Belgi f (a) f ko'phadning qiymatini bildiradi (x) da x = a, q (a) qiymatini bildiradi q (x) da x = a. Qolgan R beri, avvalgidek qoldi R dan x bog'liq emas. ish ( x-a) q (a) = 0, omildan beri ( x-a) = 0, va omil q (a) ma'lum bir raqam bor. Shunday qilib, biz tenglikdan olamiz: f (a) = R, h.t.d.
1-misol. Ko‘phadning bo‘linishining qolgan qismini toping x 3 - 3x 2 + 6x- binomial bo'yicha 5
x- 2. Bezout teoremasi bo‘yicha : R = f(2) = 23-322 + 62 -5 = 3. Javob: R = 3.
E'tibor bering, Bezout teoremasi o'z-o'zidan emas, balki uning natijalarida ham muhimdir. (1-ilova)
Bezout teoremasini amaliy masalalarni yechishda qo‘llashning ayrim usullariga to‘xtalib o‘tamiz. Shuni ta'kidlash kerakki, tenglamalarni Bezout teoremasi yordamida echishda quyidagilar zarur:
Erkin terminning barcha butun son bo‘luvchilarini toping;
Bu bo‘luvchilardan tenglamaning kamida bitta ildizini toping;
Tenglamaning chap tomonini ga bo'ling (Ha);
Tenglamaning chap tomoniga bo‘linuvchi va qismning ko‘paytmasini yozing;
Olingan tenglamani yeching.
Masalan, x tenglamani yechishni ko'rib chiqaylik 3 + 4X 2 + x - 6 = 0 .
Yechish: erkin hadning ± 1 bo‘luvchilarini toping ; ± 2; ± 3; ± 6. Keling, qiymatlarni hisoblaylik x = 1, 1 3 + 41 2 + 1-6 = 0. Tenglamaning chap tomonini ( ga bo'ling X- 1). Biz bo'linishni "burchak bilan" bajaramiz, biz quyidagilarni olamiz:
Xulosa: Fakultativ darslar dasturida biz ishimizda ko'rib chiqadigan usullardan biri bo'lgan Bezout teoremasi o'rganiladi. Buni tushunish qiyin, chunki unga egalik qilish uchun siz undan barcha oqibatlarni bilishingiz kerak, lekin ayni paytda Bezout teoremasi imtihondagi talabalarning asosiy yordamchilaridan biridir.
2.4 Horner sxemasi
Ko‘phadni binomga bo‘lish x-a 17-asrning ingliz matematiklari tomonidan ixtiro qilingan, keyinchalik Horner sxemasi deb nomlangan maxsus oddiy hiyladan foydalanishingiz mumkin. Horner sxemasiga ko'ra, tenglamalarning ildizlarini topishdan tashqari, siz ularning qiymatlarini osonroq hisoblashingiz mumkin. Buning uchun o'zgaruvchining qiymatini Pn polinomiga almashtirish kerak (x) = a 0 xn + a 1 x n-1 + a 2 xⁿ - ² +… ++ a n -1 x + a n. (bir)
(1) ko'phadning binomga bo'linishini ko'rib chiqaylik x-α.
To'liqsiz bo'lakning koeffitsientlarini ifodalaymiz b 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ bn -1 va qolganlari r polinom koeffitsientlari bo'yicha Pn ( x) va raqam α. b 0 = a 0 , b 1 = α b 0 + a 1 , b 2 = α b 1 + a 2 …, bn -1 =
= α bn -2 + a n -1 = α bn -1 + a n .
Horner sxemasi bo'yicha hisob-kitoblar quyidagi jadval shaklida keltirilgan:
|
a 0
|
a 1
|
a 2 ,
|
|
|
|
b 0 = a 0
|
b 1 = α b 0 + a 1
|
b 2 = α b 1 + a 2
|
|
r = a b n-1 + a n
|
Shu darajada r = Pn (a), u holda a tenglamaning ildizi hisoblanadi. a ning ko'p ildiz ekanligini tekshirish uchun b bo'limiga Horner sxemasini qo'llash mumkin. 0 x + b 1 x + ... + bn -1 jadvalga muvofiq. Quyidagi ustunda bn bo'lsa -1 yana 0 chiqadi, shuning uchun a ko'p ildizdir.
Bir misolni ko'rib chiqing: tenglamani yeching X 3 + 4X 2 + x - 6 = 0.
Tenglamaning chap tomonidagi ko‘phadni ko‘paytmalarga ajratishni, tenglamaning chap tomoniga Horner sxemasini qo‘llang.
Yechish: erkin hadning bo‘luvchilarini toping ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.
Ko'rsatkichlar 1, 5, 6 raqamlari, qolganlari esa r = 0.
Ma'nosi, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.
Demak: X- 1 = 0 yoki X 2 + 5X + 6 = 0.
X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Javob: 1,- 2, - 3.
Xulosa: Shunday qilib, bitta tenglamada biz ko'phadlarni faktoring qilishning ikki xil usulidan foydalanishni ko'rsatdik. Bizning fikrimizcha, Horner sxemasi eng amaliy va iqtisodiy hisoblanadi.
2.5 4-darajali tenglamalarni yechish. Ferrari usuli
Kardanoning shogirdi Lyudovik Ferrari 4-darajali tenglamani yechish usulini topdi. Ferrari usuli ikki bosqichdan iborat.
I bosqich: shakldagi tenglamalar ikkita kvadrat trinomiyalarning mahsuloti sifatida ifodalanadi, bu tenglama 3-darajali va kamida bitta yechim ekanligidan kelib chiqadi.
II bosqich: olingan tenglamalar faktorizatsiya yordamida yechiladi, ammo kerakli koeffitsientlarni topish uchun kub tenglamalarni yechish kerak.
G'oya tenglamalarni A 2 = B 2 ko'rinishida ifodalash, bu erda A = x 2 + s,
ning B-chiziqli funktsiyasi x... Keyin A = ± B tenglamalarni echish qoladi.
Aniqlik uchun tenglamani ko'rib chiqing: 4-darajani ajratamiz, biz olamiz: Har qanday uchun d ifoda mukammal kvadrat bo'ladi. Olingan tenglamaning ikkala tomoniga qo'shing
Chap tomonda to'liq kvadrat bor, siz olishingiz mumkin d shunday qilib, o'ng tomon (2) ham to'liq kvadratga aylanadi. Tasavvur qilaylik, biz bunga erishdik. Keyin bizning tenglamamiz quyidagicha ko'rinadi:
Keyinchalik ildizni topish qiyin bo'lmaydi. To'g'ri tanlash uchun d o'ng tomonning diskriminanti (3) yo'qolishi kerak, ya'ni.
Shunday qilib, topish uchun d, bu 3-darajali tenglamani yechish kerak. Bunday yordamchi tenglama deyiladi rezolyutsiya.
Biz hal qiluvchining butun ildizini osongina topishimiz mumkin: d = 1
Tenglamani (1) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz
Xulosa: Ferrari usuli universal, ammo murakkab va mashaqqatli. Shu bilan birga, agar yechim algoritmi aniq bo'lsa, bu usul bilan 4-darajali tenglamalarni yechish mumkin.
2.6 Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli
4-darajali tenglamani Ferrari usuli bilan echishning muvaffaqiyati biz hal qiluvchi - 3-darajali tenglamani yechishimizga bog'liq, biz bilganimizdek, bu har doim ham mumkin emas.
Aniqlanmagan koeffitsientlar usulining mohiyati shundan iboratki, ma'lum bir polinom parchalanadigan omillarning turi taxmin qilinadi va bu omillarning koeffitsientlari (shuningdek, ko'phadlar) omillarni ko'paytirish va koeffitsientlarni bir xil darajalarda tenglashtirish yo'li bilan aniqlanadi. o'zgaruvchan.
Misol: tenglamani yeching:
Aytaylik, tenglamamizning chap tomonini butun sonli koeffitsientli ikkita kvadrat trinomiyaga ajratish mumkin, shunda bir xillik
Shubhasiz, uni oldidagi koeffitsientlar 1 ga, bo'sh shartlar esa bittaga teng bo'lishi kerak. + 1, ikkinchisida 1 bor.
Oldidagi koeffitsientlar X... Keling, ularni bilan belgilaymiz a va ularni aniqlash uchun tenglamaning o'ng tomonidagi ikkala trinomni ko'paytiramiz.
Natijada biz quyidagilarni olamiz:
Koeffitsientlarni bir xil darajalarda tenglashtirish X chapda va o'ng tomonlar tenglik (1), biz va topish uchun tizimni olamiz
Ushbu tizimni hal qilib, biz ega bo'lamiz
Demak, bizning tenglamamiz tenglamaga teng
Uni hal qilib, biz quyidagi ildizlarni olamiz:.
Noaniq koeffitsientlar usuli quyidagi mulohazalarga asoslanadi: tenglamadagi har qanday to rtinchi darajali ko phad ikki ikkinchi darajali ko phadning kopaytmasiga ajralishi mumkin; ikki polinom bir xil darajada teng bo'ladi, agar ularning koeffitsientlari bir xil darajada teng bo'lsa X.
2.7 Simmetrik tenglamalar
Ta'rif. Shaklning tenglamasi, agar tenglamaning chap tomonidagi birinchi koeffitsientlar o'ngdagi birinchi koeffitsientlarga teng bo'lsa, simmetrik deyiladi.
Chapdagi birinchi koeffitsientlar o'ngdagi birinchi koeffitsientlarga teng ekanligini ko'ramiz.
Agar bunday tenglama toq darajaga ega bo'lsa, unda uning ildizi bor X= - 1. Keyin tenglamaning darajasini ( ga bo'lish orqali kamaytirishimiz mumkin. x + biri). Ma'lum bo'lishicha, simmetrik tenglama ( ga bo'linganda) x + 1) juft darajali simmetrik tenglama olinadi. Koeffitsientlar simmetriyasining isboti quyida keltirilgan. (6-ilova) Bizning vazifamiz juft darajali simmetrik tenglamalarni yechishni o'rganishdir.
Masalan: (1)
Biz (1) tenglamani yechamiz, ga bo'linadi X 2 (o'rta) = 0.
Keling, atamalarni simmetrik bilan guruhlaymiz
) + 3(x+. belgilaymiz da= x+, ikkala tomonni kvadratga aylantiramiz, demak = da 2 Shunday qilib, 2 ( da 2 yoki 2 da 2 + 3 tenglamani yechish, biz olamiz da = , da= 3. Keyin, almashtirishga qaytaylik x+ = va x+ = 3. Biz tenglamalarni olamiz va birinchisining yechimi yo'q, ikkinchisining ikkita ildizi bor. Javob:.
Xulosa: berilgan ko'rinish Tenglamalar tez-tez uchramaydi, lekin agar siz unga duch kelsangiz, uni qiyin hisob-kitoblarga murojaat qilmasdan osongina va sodda tarzda hal qilish mumkin.
2.8 To'liq darajani izolyatsiya qilish
Tenglamani ko'rib chiqing.
Chap tomon yig'indining kubidir (x + 1), ya'ni.
Biz ikkala qismdan uchinchi darajali ildizni chiqaramiz:, keyin biz olamiz
Yagona ildiz qayerdan.
TADQIQOT NATIJALARI
Ish natijalariga ko'ra biz quyidagi xulosalarga keldik:
O'rganilgan nazariya tufayli biz tanishdik turli usullar yuqori darajali butun tenglamalarning yechimlari;
D. Kardano formulasini qo'llash qiyin va hisoblashda xato qilishning yuqori ehtimolini beradi;
- L.Ferrari usuli to'rtinchi darajali tenglamaning yechimini kubga qisqartirish imkonini beradi;
- Bezout teoremasi kub tenglamalar uchun ham, to'rtinchi darajali tenglamalar uchun ham qo'llanilishi mumkin; tenglamalarni yechishda qo‘llanilganda tushunarliroq va tushunarliroq bo‘ladi;
Horner sxemasi tenglamalarni echishda hisob-kitoblarni sezilarli darajada kamaytirish va soddalashtirishga yordam beradi. Ildizlarni topishdan tashqari, Horner sxemasiga ko'ra, tenglamaning chap tomonidagi polinomlarning qiymatlarini hisoblash osonroq;
Tenglamalarni noaniq koeffitsientlar usulida yechish, simmetrik tenglamalarni yechish alohida qiziqish uyg'otdi.
Davomida tadqiqot ishi tenglamalarni yechishning eng oddiy usullari bilan ekanligi aniqlandi eng yuqori daraja o‘quvchilar 9-10-sinflardan boshlab matematikadan fakultativ darslarda, shuningdek, saytdan tashqari maxsus kurslarda tanishadilar. matematika maktablari... Bu fakt "9-sonli umumta'lim maktabi" MBOU matematika o'qituvchilari va "matematika" faniga qiziqish ortgan o'quvchilar o'rtasida o'tkazilgan so'rov natijasida aniqlandi.
Olimpiada, tanlov masalalarini echishda va talabalarni imtihonlarga tayyorlash natijasida topiladigan yuqori darajali tenglamalarni echishning eng mashhur usullari Bezout teoremasini, Horner sxemasini qo'llash va yangi o'zgaruvchini kiritishga asoslangan usullardir.
Tadqiqot ishining natijalarini ko'rsatish, ya'ni. matematika fanidan maktab o'quv dasturida o'rganilmagan tenglamalarni yechish yo'llari, qiziqqan sinfdoshlar.
Xulosa
Do'stlaringiz bilan baham: |