Yuqori darajali tenglamalarni yechish

§ 2. Simmetrik tenglamalar
1. Uchinchi darajali simmetrik tenglamalar
ax3 + bx2 + bx + a = 0 va ≠ 0 (1) ko'rinishdagi tenglamalar uchinchi darajali simmetrik tenglamalar deyiladi. ax3 + bx2 + bx + a = a (x3 + 1) + bx (x + 1) = (x + 1) (ax2 + (ba) x + a) bo'lgani uchun (1) tenglama to'plamga ekvivalent bo'ladi. x + 1 = 0 va ax2 + (b-a) x + a = 0 tenglamalari, uni yechish qiyin emas.
Misol 1. Tenglamani yeching
3x3 + 4x2 + 4x + 3 = 0. (2)
Yechim. (2) tenglama uchinchi darajali simmetrik tenglamadir.
3x3 + 4xg + 4x + 3 = 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) = (x + 1) (3x2 - Zx + 3 + 4x) = (x + 1) (3x2 + x + 3) bo'lgani uchun , u holda (2) tenglama x + 1 = 0 va 3x3 + x + 3 = 0 tenglamalar to'plamiga ekvivalent bo'ladi.
Bu tenglamalardan birinchisining yechimi x = -1, ikkinchi tenglamaning yechimi yo'q.
Javob: x = -1.
2. To`rtinchi darajali simmetrik tenglamalar
Shakl tenglamasi
(3) to'rtinchi darajali simmetrik tenglama deyiladi.
X = 0 tenglamaning (3) ildizi emasligi sababli, (3) tenglamaning ikkala tomonini x2 ga bo'lib, biz (3) asl tenglamaga ekvivalent tenglamani olamiz:
(4) tenglamani quyidagi shaklda qayta yozamiz:
Ushbu tenglamada biz o'zgartirish kiritamiz, keyin kvadrat tenglamani olamiz
Agar (5) tenglamaning 2 ta ildizi y1 va y2 bo‘lsa, u holda dastlabki tenglama tenglamalar to‘plamiga ekvivalent bo‘ladi.
Agar (5) tenglamaning bitta ildizi y0 bo'lsa, u holda dastlabki tenglama tenglamaga ekvivalent bo'ladi.
Nihoyat, agar (5) tenglamaning ildizlari bo'lmasa, asl tenglamaning ham ildizlari yo'q.
2-misol. Tenglamani yeching
Yechim. Bu tenglama to'rtinchi darajali simmetrik tenglamadir. X = 0 uning ildizi emasligi sababli, (6) tenglamani x2 ga bo'lib, ekvivalent tenglamani olamiz:
Terminlarni guruhlab, (7) tenglamani ko'rinishda yoki shaklda qayta yozamiz
y1 = 2 va y2 = 3 ikkita ildizga ega bo'lgan tenglamani qo'yamiz. Shuning uchun dastlabki tenglama tenglamalar to'plamiga ekvivalentdir.
Bu to‘plamning birinchi tenglamasining yechimi x1 = 1, ikkinchisining yechimi esa u.
Demak, dastlabki tenglama uchta ildizga ega: x1, x2 va x3.
Javob: x1 = 1 ,.