Ярим ўҚда берилган штурм лиувилл чегаравий масалacининг спектрал характеристикалари

Таъриф 1. ечимга Вейл ечими, функсияга эса Вейл-Титчмарш функцияси дейилади.
Вейл-Титчмарш функцияси ва спектрал функция орасида қуйидагича боғланиш мавжуд.
Теорема 3. Агар оралиқнинг четки нуқталари спектрал функциянинг узлуксизлик нуқталаридан иборат бўлса, у ҳолда

тенглик ўринли бўлади.
Натижа 1. Агар кесмада функциянинг қутб нуқталари бўлмаса, у ҳолда ихтиёрий сон учун қуйидаги тенглик ўринли:

Қуйида чегаравий масаланинг спектрал функциясини топиш масаласини кўриб чиқамиз:
1 - Mисол. Ушбу

Штурм-Лиувилл чегаравий масаласининг Вейл-Титчмарш функцияси ва спектрал функциясини топамиз.
Маълумки, масалада берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечими қуйидаги кўринишда ифодаланади:

Қуйидаги

бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимлари қуйидагича кўринишда бўлади:


бунда коэффициент қуйидан чегараланганлиги учун Вейлниниг нуқта ҳоли ўринли бўлади.
Ушбу

функция фазога тегишли бўладиган қилиб, функцияни танлаймиз. Бунинг учун қуйидагича ифодалашни бажарамиз:

Комплекс илдизнинг хоссасидан фойдаланиб [1, 372б.], функция учун қуйидагича натижаларга эга бўламиз:





қутб нуқтага эга эмас экан. Демак

Ушбу

формулага кўра қуйидаги тенгликка эга бўламиз:

Бу ерда нормаллаштириш шартини ва нуқта хос қиймат эмаслигини ҳисобга олиб,

яъни

спектрал функцияни топамиз.
2 - Мисол. Ушбу

Штурм-Лиувилл чегаравий масаласининг Вейл-Титчмарш функцияси ва спектрал функциясини топамиз.
Маълумки, масалада берилган дифференциал тенгламанинг умумий ечими қуйидаги кўринишда ифодаланади: [1, 28б.]



Қуйидаги

бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимлари қуйидагича кўринишда бўлади:


Бу мисолимизда ҳам коэффициент қуйидан чегараланганлиги учун Вейлниниг нуқта ҳоли ўринли бўлади.
Ушбу

функция фазога тегишли бўладиган қилиб, функцияни танлаймиз. Бунинг учун қуйидагича ифодалашни бажарамиз:

Комплекс илдизнинг хоссасидан фойдаланиб, функция учун қуйидагича натижага эга бўламиз:

Демак,

бўлади. 1- натижага асосан cпектрал функция учун қуйидаги ифодага келамиз:


Ушбу мақолада ярим ўқда берилган Штурм – Лиувилл чегаравий масалacининг Вейл-Титчмарш функцияси ва спектрал функция орасидаги боғланиш ўрганилган ҳамда Вейл-Титчмарш функцияси ва спектрал функциясини топишга доир назарий аҳамиятга эга бўлган мисоллар ечиб кўрсатилган.
Олинган натижалар келгусида Штурм – Лиувилл операторининг спектрал назариясининг ривожланишида қўлланилиши мумкин. Шунингдек, улар квант физикаси, чизиқли операторлар спектрал назариясида, чизиқли ва ночизиқли хусусий хосилали тенгламалар назарияси ва математик физикада учрайдиган айрим ночизиқли эволютцион тенгламаларни интеграллашда ҳамда квант механикаси ва табиий фанларнинг бошқа соҳаларида қўлланилиши мумкин.