Ярим ўҚда берилган штурм лиувилл чегаравий масалacининг спектрал характеристикалари

УДК 517.947.5
ЯРИМ ЎҚДА БЕРИЛГАН ШТУРМ – ЛИУВИЛЛ ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛACИНИНГ СПЕКТРАЛ ХАРАКТЕРИСТИКАЛАРИ


Ф.А.Мадатова, Ўзбекистон давлат жаҳон тиллари университети;
А.Б.Неъматов, Самарқанд давлат университети
[e-mail]


АННОТАЦИЯ
Мақолада ярим ўқда берилган Штурм – Лиувилл чегаравий масалacи учун тўғри масалалар қаралади. Бу масалаларга мос назарий аҳамиятга эга бўлган конкрет мисоллар ечиб кўрсатилган.
Таянч сўзлар: Штурм-Лиувилл чегаравий масаласи, хос қиймат, спектрал функция, спектр, тўғри масала.
АННОТАЦИЯ
В статье рассматривается прямые задачи для краевой задачи Штурма-Лиувилля на полуоси. Приведены конкретные примеры имеющие теоритические значения, относящиеся к этим задачам.
Ключевые слова: краевая задача Штурма-Лиувилля, собственное значение, спектральная функция, спектр, прямая задача.
ABSTRACT
The article deals with direct problems for the Sturm-Liouville boundary value problem on the semiaxis. Specific examples of theoretical significance relevant to these issues are presented.
Key words: Sturm-Liouville boundary value problem, eigenvalue, spectral function, spectr, direct problem.
Ушбу мақолада ярим ўқда берилган Штурм – Лиувилл чегаравий масалacининг спектрал характеристикалари ҳамда Вейл-Титчмарш функцияси ва спектрал функцияси орасидаги боғланиш ўрганилган.
Қуйидаги Штурм-Лиувилл чегаравий масаласини қараймиз:

бу ерда ҳақиқий функция, ихтиёрий ҳақиқий сон ва
комплекс параметр деб қаралади.
Ушбу

Коши масаласининг ечимини орқали белгилаймиз.
ҳақиқий функция учун

Теорема 1. (Вейл). чегаравий масала учун бутун ўқда аниқланган, монотон ўсувчи, чапдан узликсиз, шарт билан нормалланган шундай функция мавжудки, фазодан олинган ихтиёрий функция учун

тенглик бажарилади. Бу ерда функция

кетма-кетликнинг фазодаги лимитини билдиради.
(3) тенгликка ярим ўқда берилган Штурм-Лиувилл чегаравий масаласи учун Парсевал тенглиги дейилади, функцияга (1) чегаравий масаланинг спектрал функцияси дейилади. функцияга эса функциянинг функциялар бўйича Фурье алмаштириши дейилади ва қуйидагича белгиланади:

спектрал функция бирор нуқтанинг кичик атрофида ўзгармас бўлса, регуляр нуқта дейилади, регуляр бўлмаган нуқталар тўпламига эса спектр дейилади ва ҳарфи билан белгиланади.
чегаравий масаланинг спектрал функциясини топиш масаласига тўғри масала дейилади.
функция орқали (1) чегаравий масаладаги тенгламанинг

бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечимини белгилаймиз.
Теорема 2.[1]. Агар - Вейл нуқтаси ёки Вейл доирасига тегишли бўлган бирор нуқта бўлса, у ҳолда ихтиёрий комплекс сон учун (1) чегаравий масаладаги тенгламанинг

ечими фазога тегишли бўлади, ҳамда қуйидаги тенгсизликни қаноатлантиради: