Xv боб Бир ўлчовли фазода Шрёдингер тенгламаси ва уни ечиш Асосий формулалар ва тушунчалар

XV Боб
Бир ўлчовли фазода Шрёдингер тенгламаси ва уни ечиш
Асосий формулалар ва тушунчалар.
 Бир ўлчамли фазода Шрёдингернинг ваšтга бођлиš бўлган тенгламаси šуйидаги кўринишга эга:
(15.1)
бунда m-зарра массаси; U-потенциал майдон, тўлšин функция.
 Физикавий ќодисаларни тавсифлашда тўлšин функцияни ўрни бениќоя катта. Шунинг учун тўлšин функция Шрёдингер тенгламасининг ечими сифатида šуйидагича талабларга итоат етиши керак:
1. Тўлšин функция šуйидаги катталиклар билан мослашуви:
(15.2)
2. Тўлšин функция чизиšли бўлиши, яьни
,
бунда- коэффицентлар;
3. функция ќам чизиšли бўлиши;
4. ва  функциялар бир šийматли, чекли ва узлуксиз бўлиши:
5.  да  функция нолга интилиши, яьни
.
 Ваšтга бођлиš бўлмаган, яьни бир ўлчовли фазода Шрёдингернинг стационар тенгламаси:
(15.3)
кўринишига эга.
 Стационар Шрёдингер тенгламасини šаноатлантурувчи тўлšин функция šуйидаги кўринишга эга:
(15.4)
 Потенциал ўра чексиз тўђри бурчакли потенциал ўра (15.1-расм) учун Шрёдингер тенгламаси:

бунда

ва уни šаноатлантируви бўлган функция
(15.5)
хусусий šиймати
 Чексиз чуšурликга эга бўлган бир ўлчовли потенциал ўра учун, хусусий функция, эќтимоллик зичлиги ва энергиянинг хусусий šийматлари 15.1 жадвалда келтирилган.
15.1 жадвал

№	Хусусий функция	Эќтимол зичлиги	Энергиянинг хусусий šийматлари
1
2
3
n

 Квант механикада гармоник осциллятор (15.2-расм) масаласи муќим аќамиятга эга.
 - потенциал энергия учун Шрёдингер тенгламаси
(15.6)
кўринишни олади.
Бу тенгламанинг хусусий функцияси
(15.7)
бунда

ва Н (реккурент формула).
Гармоник осцилляторнинг ќусусий функциялари ва ќусусий šийматлари 15.2-жадвалда келтирилган.
15.2-жадвал

№	Хусусий энергия šиймати, Е	Нормалланган тўлšин функция	Нормалланган эќтимол зичлиги
0	Е
1	Е
2	Е
n		бунда Н

 Реккурент формула

ни Эрмит полиномлари:



 

 
· Потенциал тўсиšнинг ва тунел эффект.
Тўсиšнинг шаффофлик коэффиценти

(15.9)
Тўсиšнинг х=0 нуšтаси – šайтариш коэффиценти
(15.10)
Бунда А-тўсиššа чапдан тушувчи тўлšин амплитудаси. В-I соќада šайтган тўлšин амплитудаси. С-III соќага ўтган тўлšин амплитудаси. Шаффофлик коэффицентининг аниš ифодаси:
(15.11)
L ва U –катта бўлганда
(15.12)

15.1. Кенглиги м бўлган потенциал šутида электрон жойлашган бўлсин. Потенциал ўра мавзусидаги муносабатлардан фойдаланиб šуйидагиларни топинг:
1) Электроннинг олиш мумкун бўлган энергиянинг энг кичик šиймати  ни электронвольтлар  да;
2)  ва  энергиялар орасидаги энергия фарšини;
3) энергияга тўђри келган фотоннинг тўлšин узунлигини ва частотасини;
4) Импульснинг энг кичик šийматини;
5) Šути ичида ётган электрон импульсини аниšлашдаги ноаниšликни.
Ечилиши:
1. Тўђри бурчакли потенциал ўрада ётган электрон учун хусусий энергия šийматлари šуйидаги формуладан топилади:
 n=1, 2, 3, ...
m-электрон массаси, потенциал šути кенглиги.
 учун , демак


2. n=2 учун
формуладан
 
3. энергия фарšига тўђри келган фотоннинг частотаси

бунда Планк доимийси.
Фотоннинг тўлšин узунлиги

4. Электрон импульснинг энг кичик šийматини топиш учун

формуладан фойдаланамиз:
n=1 учун

5. Гейзенбергнинг ноаниšлик муносабати  дан  ќол учун

15.2. Массаси кг бўлган шакар зарраси кенглиги L=2, 0мм бўлган потенциал ўрада жойлашган. Šуйидагиларни топинг:
1) Энг кичик энергиянинг šийматини;
2) энергиянинг šийматини;
3) 15.1-масалада олинган натижалар билан бу масалада олинган натижаларни таššосланг ва ўз фикрингизни айтинг.
Ечилиши:
Ушбу масала 15.1-масала каби ечилади.
1. Шакар заррасини энергиясининг энг кичик šиймати (n=1):

2.  фарšни ториш учун  ни ќисоблаймиз:
 
3. Ќисоблардан кўриниб турибдики икки сатќ орасидаги энергия фарšи ниќоятда кичик ва бу фарšни амалий жихатдан ќеч šандай ўлчов асбоби билан šайд šилиб бўлмайди. Шунинг учун шакар зарраси макроскопик обьект, электрон эса микроскопик обьектдир.
15.3. Кенглиги  бўлган потенциал šутида электрон  тезлик билан ќаракат šиляпти. Массаси кг бўлган молекула кенглиги см бўлган потенциал šутида  тезлик билан ќаракат šилмоšда. Шунингдек, массаси кг зарра кенглиги см šутида  тезлик билан ќаракат šиляпти. Электрон, молекула ва зарра учун n-квант сонини тахминий šийматларини топинг.
Ечилиши:
1. Электрон учун n-нинг тахминий šийматини топамиз:
  ;
бундан
 ёки

Демак, электрон учун n=10.
2. Молекула учун

Демак, молекулалари учун n=7.
3. Зарра учун

Демак зарра учун
15.4. Массаси m га тенг бўлган зарра бир ўлчамли чексиз чуšур тўђри бурчакли потенциал ўрада ётибди.
1. Зарра учун Шрёдингер тенгламасини таьрифланг ва бу тенгламанинг умумий ечимини топинг.
2. Чегаравий шартларни ёзинг ва хусусий šийматларни топинг.
3. Хусусий тўлšин функциялар учун нормаллаш коэффицентларни топинг ва нормаллаш коэффицентни n га бођлиš эмаслигини кўрсатинг (15.1-расм).
Ечилиши:
1. Бир ўлчовли фазо ва U=0 учун
Шрёдингер тенгламаси

бунда  E- хусусий šиймат ва -хусусий тўлšин функция. Тенгламанинг умумий ечими

бунда

2.Чегаравий шарт:  бу чегаравий шартларни šаноатлантирувчи ечим
. В – коэффицент
3.Нормаллаш коэффициентини топиш учун

шартдан фойдаланамиз.

Демак нормаллаш коэффициенти
15.5. 15.4-масаладан фойдаланиб, Шрёдингер тенгламаси ва тўлšин функциялар асосида чексиз чуšур потенциал ўра учун зарранинг хусусий энергиялар спектри  ни топинг.
Ечилиши:
Бир ўлчовли чексиз потенциал ўра учун Шрёдингернинг стационар тенгламаси
(1)
Бу тенгламани šуйидаги кўринишда ёзамиз:

бунда
(2)
(2) тенглама заррани šути ичидаги ќолатини характерлайди ва уни ечими
(3)
бўлиб, бир-бирига šарама-šарши йўналишда ќаракат šилаётган иккита тўлšиннинг суперпозициясини тасвирлайди. А ва В коэффицентларни топиш учун чегаравий шартлардан фойдаланамиз:
х=0 да  ва (3) функциядан 0=А+В ёки А=-В ни топамиз. Бундан
Эйлер формуласи ёрдамига бу функция šуйидаги кўринищга келади:

иккинчи чегаравий шартларни šўллаб, яьни да  бўлгани учун    ва  демак бундан  n=1, 2, 3, ... -учун олинган бу šийматни (2) га šўйсак, у ќолда энергия учун šуйдаги ифодани ќосил šиламиз
 n=1, 2, 3, ...
Демак, энергия дискрет šийматларга ёки сатќларга квантланади.