Xosmas integrallar

Xosmas integrallar

Riman integrali tushunchasi chegaralangan va kesmada aniqlangan funksiyalar uchun berilgan edi. Chegaralanmagan funksiyalardan va cheksiz oraliqlar bo’yicha ham integral tushunchasini kiritish masalasi haqidagi savol ham tabiiy ravishda tug’iladi.

1.Cheksiz oraliq bo’yicha integral tushunchasi funksiyani oraliqda qaraylik. Bu funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud.

ham mavjud. Bu limit funksiyadan oraliq bo’yicha olingan integral deyiladi va

ko’rinishda yoziladi. – sonini funksiya grafigi va koordinata o’qlari bilan chegaralangan figuraning yuzasi sifatida qarash mumkin.

Endi cheksiz oraliq bo’yicha olingan integral tushunchasini kiritamiz.

funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Bu funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud bo’lsin. Agar

mavjud bo’lsa, u holda bu limit funksiyadan oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali) deyiladi va

kabi belgilanadi. Bu holda funksiyani oraliqda xosmas ma’noda integrallanuvchi deyiladi. Demak, ta’rif bo’yicha

Bu holda – xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.

oraliqda integral tushunchasini ham kiritish mumkin:

Nihoyat da xosmas integral tushunchasini kiritamiz:

Bu yerda funksiyadan ixtiyoriy segmantda Riman ma’nosida integrallanuvchanligi talab qilinadi. Agar (3) limit mavjud bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. (3) limit va larning mos ravishda va ga qanday usulda intilishiga bog’liq emasligini ta’kidlash lozim. Boshqacha aytganda integral yaqinlashuvchi bo’lishi uchun

limitlarning mavjud bo’lishi zarur va yetarli . Bu holda bo’ladi:

2. Chekli oraliq bo’yicha olingan xosmas integral tushunchasi:

funksiyani qaraylik. Bu funksiya [0;1) da uzluksiz, ammo u chegaralanmagan kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’ladi:

Bu yerdan esa

Bu limitga ya’ni 2 soniga funksiyadan [0; 1) oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (ikkinchi tur xosmas integral) deyiladi va

kabi belgilanadi.

Endi chegaralangan oraliq bo’yicha olingan xosmas integral tushunchasini kiritamiz. funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, oraliqda Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’lsin. Agar

mavjud bo’lsa, u holda bu limit funksiya oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (2 – tur xosmas integral) deyiladi va

kabi belgilanadi. Shunday qilib, ta’rif bo’yicha:

(5) limit mavjud bo’lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. - belgi (5) limit mavjud bo’lsa ham bo’lmasa ham ishlatiladi.

Shunga o’xshash funksiya oraliqda aniqlangan va segmantda Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’lsa, xosmas integral tushunchasini quyidagicha kiritishimiz

3. boshqa ko’rinishdagi xosmas (2 – tur xosmas) integral tushunchasi

Agar funksiya chekli intervalda aniqlangan, tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar uchun segmantda Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’lsin. U holda funksiya intervaldagi xosmas integrali

formula orqali aniqlanadi. Agar funksiya segmentda nuqtadan tashqari barcha nuqtalarida aniqlangan va tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar uchun va kesmalarda integrallanuvchi bo’lib,

limitlar mavjud bo’lsin. U holda

yig’indiga funksiyadan oraliq bo’yicha olingan xosmas integral deyiladi va kabi belgilanadi. Demak,