Xosmas integrallar

integralni yaqinlashuvchilikka tekshiring.

Yechish: – soniga nisbatan mumkin bo’lgan uchta holatni qaraymiz.

a) Birinchi hol:

Agar bo’lsa, u holda tenglikni yozishimiz mumkin. Integral ostidagi funksiyani

ko’rinishda yozishimiz mumkin.

tenglik uchun bo’lganligi uchun, shunday soni topilib, ixtiyoriy larda tengsizlik bajariladi, shuning uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi va integral yaqinlashuvchi bo’lganligi uchun taqqoslash teoremasiga ko’ra – integralning oraliqda va demak oraliqda yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.

Shunday qilib – integral bo’lganda ixtiyoriy larda yaqinlashuvchi bo’ladi.

b) Ikkinchi hol:

Bu holda belgilashni kiritib ( Xosmas integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish shartlari bajarilyapti ) – integralni

ko’rinishda yozib olamiz. Bu munosabatdan bo’lganda – integralning da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

c) Uchinchi hol: .

Agar bo’lsa, shunday soni topilib tenglik o’rinli bo’ladi. Integral ostidagi funksiyani bu yerda , korinishda yozib olamiz.

bo’lganligi uchun shunday nuqta topilib bo’ladi. Bu tengsizlikdan taqqoslash teoremasiga ko’ra ( uzoqlashuvchi bo’lganligi uchun ) – integralning oraliqda va geman oraliqda uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Umumiy xulosa: – integral ( ) bo’lganda va da bo’lganda yaqinlashuvchi. Hamda va larning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’lar ekan.

Bu misolni 3 – taqqoslash teoremasidan foydalanib ham yechish mumkin.