Xosmas integrallar

Javob:Integral uzoqlashadi.
3. ning qanday qiymatlarida xosmas integralning mavjudligi tekshirilsin.
Yechish: Ta’rifga asosan



Javob: bo’lsa, integral yaqinlashadi,
bo’lsa, integral uzoqlashadi. Bu misoldan birinchi jins xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi belgilarini keltirib chiqarishda foydalanamiz.
1.2-§ Birinchi jins xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari.
Ba’zi hollarda funksiyaning boshlang’ich funkiyasini topib bo’lmaydi. Bunday vaqtda xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishini aniqlash uchun boshlang’ich funksiyani axtarmasdan ma’lum bir belgilarga murojat qilishga to’gri keladi. Birinchi jins xosmas integralni yaqinlashishini yoki uzoqlashishini tekshirish uchun yetarli shartni ifodalovchi quyidagi belgini keltiramiz.
Teorema: (Yaqinlashish belgisi) Aytaylik f(x) funksiya
oraliqda uzluksiz va musbat bo’lsin, ya’ni
. U vaqtda, agar oraliqda
(6)
tengsizlik bajarilib, bo’lsa, u holda
(7)
xosmas integral yaqinlashadi; agar
(8)
tengsizlik bajarilib, bo’lsa, u holda (7) xosmas integral uzoqlashadi, bunda , M-qandaydir o’zgarmas son.
Isbot:
f(x) funksiya musbat bo’lganligi uchun yuqori chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan quyidagi aniq integral
(9)
yuqori chegara A ga bog’liq bo’lgan o’suvchi funksiyani ifodalaydi. (6) tengsizlikka asosan quyidagi kelib chiqadi:

Demak, (9) funksiya yuqoridan chegaralangan. Ma’lumki agar funksiya o’suvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lsa, u holda
chekli limitga ega bo’ladi, ya’ni

integral mavjud bo’ladi. Demak, (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar (8) tengsizlik bajarilsa, u holda

bo’ladi bo’lganda esa dir.
Bu esa

ekanligini anglatadi. Demak, (7) xosmas integral uzoqlashadi. Teorema ibotlanadi. Bu isbotlangan teoremadan amaliyotda tatbiq qilinadigan xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishini ta’minlovchi quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi.