Xosmas integrallar

Yaqinlashish uchun yetarli belgi. Aytaylik [a,∞) oraliqda f(x) funksiya musbat va uzluksiz bo’lsin . Agar bo’lib, ushbu
(10)
chekli limit mavjud bo’lsa, u holda (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar bo’lib, ushbu
(11)
chekli yoki cheksiz limit mavjud bo’lsa, u holda (7) xosmas integral uzoqlashadi.
Birinchi hol. Aytaylik bo’lganda (10) limit mavjud bo’lsin. U vaqtda limit ta’rifiga asosan uchun bo’ladiki, x>N bo’lganda tengsizlik bajariladi. Bundan kelib chiqadi, bunda . Shunday qilib (6) shart hosil bo’ladi. Bu esa integralning mavjudligini ta’minlaydi. Quyidagi
(12)
tenglikdan esa (7)-xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.
Ikkinchi hol. bo’lganda (11) limit mavjud bo’lsin. Bizda J>0 J dan kichik bo’lgan musbat M sonni olamiz. U vaqtda tanlangan M bo’yicha shunday N sonni topish mumkinki, natijada x>N bo’lganda tengsizlik bajariladi (ma’lumki, agar va bo’lsa, u holda ma’lum bir joydan boshlab munosabat bajariladi). Shunday qilib (8) tengsizlik hosil bo’ladi. Bundan esa
integralning uzoqlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi. (12) ga asosan (7) integral uzoqlashadi.
Misollar:
1. integral tekshirilsin
Yechish:
,
, bo’lgani uchun xosmas integral yaqinlashadi.
2. integral tekshirilsin.
Yechish:
;
; ;
Demak, berilgan xosmas integral uzoqlashadi.
3. integral tekshirilsin.
Yechish: ; Lopital qoidasiga asosan da bo’ladi. Xususiy holda bo’lganda,
, bo’ladi. Demak, berilgan integral yaqinlashadi. Bu Puasson integrali bo’lib, uning qiymati ga teng.
;
1.3-§ Ikkinchi jins xosmas integrallar
Aytaylik, f(x) funksiya [a,b] kesmada berilgan bo’lib, b nuqtada chegaralanmagan bo’lsin. Bu holda b ni maxsus nuqta deyiladi. U vaqtda kesmada f(x)funksiya integrallanuvchi bo’lmaydi, bunda [a,b- ] kesmada f(x) funksiyani integrallanuvchi (demak, chegaralangan) bo’lsin deb qaraymiz. Agar ushbu
(13)
limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda bu limitni f(x) funksiyadan [a,b] kesma bo’yicha olingan ikkinchi jins xosmas integral deyiladi va
(14)
kabi belglanadi. Bu holda (14) integral mavjud va chekli bo’lsa yaqinlashuvchi deyiladi. Agar (13) limit mavjud bo’lmasa yoki cheksizga teng bo’lsa, u holda (14)
integral mavjud emas yoki uzoqlashuvchi deyiladi.
Xuddi shuningdek, agar a maxsus nuqta bo’lib, f(x) funksiya [a+ ;b] kesmada integrallanuvchi bo’lsa, bunda >0, u holda ikkinchi jins hosmas integral
(15)
ko’rinishda aniqlanadi. Agar f(x) funksiya c nuqtada chegaralanmagan bo’lsa, bunda a
deb olinadi. Oxirgida chap tomondagi integral mavjud bolishi uchun o’ng tomondagi integrallar mavjud bo`lishi kerak. Agar a va b nuqtalar maxsus nuqtalar bo`lsa, u holda ikkinchi jins xosmas integral

ko’rinishda aniqlanadi, bunda integral c nuqtaning tanlanishiga bog’liq bo’lmaydi.