Xodjayorova dilxayot abdiaxatovna deformatsiyalanuvchi muhitdagi silindrik qobiqning buralma tebranishlarini sonli tadqiq etish

§1.2 Doiraviy silindrik elastik sterjenning buralma tebranishlari
umumiy tenglamalari
Silindrik koordinatalar sistemasida bir jinsli va izotrop, radiusi bo’lgan doiraviy silindrik qayishqoq-elastik sterjenni qaraymiz. Tebranish tenglamalarini chiqarishda silindrik sterjenni uch o’lchovli matematik elastiklik nazariyaga qat’iy bo’ysinuvchi uch o’lchovli jism sifatida deb hisoblaymiz.
Qayishqoq-elastik sterjen nuqtalarining ko’chish vektorini quyidagicha tasvirlaymiz
, (1.26)

bu yerda - bo’ylama va -ko’ndalang to’lqin potensiallari, – z o’qi bo’yicha yo’nalgan birlik vektori [3]

ifodalarini hisobga olib ko’chish vektorini

kabi ifodalaymiz.
Ko’chish vektorining oxirgi ifodasidagi -birlik vektorlari oldidagi koeffisientlar mos ravishda - ko’chish komponentalarini aniqlaydi

(1.27)

Deformasiya va ko’chish orasidagi munosabatlar,

ya’ni Koshi munosabatlaridan deformatsiyalarni potensiallar orqali ifodalaymiz



(1.28)




bunda – hajmiy deformasiya; – uch o’lchamli Laplas operatori.
Tebranishlar simmetrik bo’lganida ko’chishlar va deformatsiyalarning (1.27), (1.28) ifodalari quyidagi ko’rinishni oladi
, (1.29)
va

(1.30)


Qayishqoq elastik jism uchun Guk qonuniga

asosan kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi quyidagi munosabatga ega bo’lamiz



(1.31)
-qayishqoqlik teskarilanuvchi operatorlari;
(1.32)
– Lame koeffisentlari; – qayishqoq-elastiklik operatorining ixtiyoriy yadrolari.
Silindrik koordinatalar sistemasida sterjen (uch o’lchovli qayishqoq-elastik jism sifatida) nuqtalarining harakat tenglamalari quyidagicha bo’ladi [5]

(1.33)

Sterjen nuqtalarining harakat tenglamalariga kuchlanishlarning (1.31) ifodasini va ko’chishlarning (1.27) ifodalarini qo’yib, soddalashtirishlardan so’ng quyidagiga ega bo’lamiz

Bu tenglamalarni mos ravishda - birlik vektorlariga ko’paytirib qo’shamiz,
soddalashtirishladan so’ng ushbu tenglikni hosil qilamiz,

Bu tenglik o’rinli bo’lishi uchun

bo’lishi kerak. Bundan quyidagi to’lqin tenglamasiga ega bo’lamiz [2].
(1.34)
bunda – sterjen materialining zichligi ;
Bu holda, ya’ni vektori (1.26) kabi tasvirlanganda, -vektor maydonining solinoidallik sharti o’z-o’zidan bajariladi.
Endi silindrik qayishqoq-elastik sterjenning buralma tebranishlari haqidagi dinamik chegaraviy masalani qo’yamiz. Buning uchun sterjenning buralma tebranishlarini uning sirtida ta’sir etuvchi kuchlanish hosil qiladi deb hisoblaymiz. U holda chegaraviy shart quyidagicha bo’ladi
; (1.35)
Boshlang’ich shartlar nol deb olinadi.
Yuqorida qayd etilgan [1,2] adabiyotlarda ko’rsatilishicha sterjenning buralma tebranishlari faqat potentsial bilan tavsiflanadi. Shuning uchun sterjenning buralma tebranish tenglamasii quyidagi ko’rinishni oladi [1]

Sterjenning buralma tebranishlari o’z o’qiga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun buralma tebranishlarni tavsiflovchi hamma parametrlar θ burchakdan bog’liq bo’lmaydi, shu jumladan potensial ham θ burchakdan bog’liq bo’lmaydi. U holda oxirgi tenglama
(1.36)
ko’rinishni oladi. Shunday qilib buralma tebranishlarda sterjen nuqtalarining harakati (1.36) tenglama orqali ifodalanadi. Masalaning chegaraviy sharti (1.35) va boshlang’ich shartlar nol deb olinadi.
Masalani yechish uchun potentsialni ushbu ko’rinishda tasvirlaymiz [4]
(1.37)
bunda l- p tekislikning uchastkasidan o’ngda joylashgan ochiq kontur, potensialning bu ifodasinidan va larni topamiz,



hosil qilingan ifodalarni (1.36) harakat tenglamasiga qo’yib,

soddalashtirishlardan keyin quyidagiga ega bo’lamiz
,
bunda

kabi belgilashlar olsak quyidagiga ega bo’lamiz
, (1.38)
Yuqoridagi (1.38) tenglamaning umumiy yechimi
, (1.39)
ga teng, bunda I₀ – modifikasiyalangan Bessel funksiyasi [6].
Modifikasiyalangan Bessel funksiyasi uchun quyida qo’llaniladigan ba’zi munosabatlarni keltiramiz[5]
(1.40)
Sterjen sirtida ta’sir etuvchi kuchlanish ifodasini ham
(1.41)
kabi tasvirlab (1.37) ifodani hisobga olsak (1.35) chegaraviy shart quyidagi ko’rinishni oladi
; (1.42)
bunda .
Agar (1.39) umumiy yechimini va (1.40) munosabatlarni hisobga olsak, (1.42) chegaraviy shart quyidagicha yoziladi
(1.43)
endi ko’chishni ham
(1.44)
kabi tasvirlaymiz, potensial va ko’chish ifodasini (1.29) formuladagi ikkinchi tenglikka qo’yamiz


Oxirgi tenglikka (1.39) umumiy yechimni qo’yib
(1.45)

ifodaga ega bo’lamiz.
Ko’chishning ushbu ifodasidagi Besselning -modifikasiyalangan funksiyasini r radial koordinata bo’yicha qatorga yoyamiz.
U holda quyidagiga ega bo’lamiz
(1.46)
Oxirgi (1.46) tenglamada n=0 va deb hamda
(1.47)
kabi almashtirish olib quyidagini hosil qilamiz
(1.48)
Keltirilgan (1.48) ifodadan ko’rinadiki almashtirilgan funksiya deformasiya o’lchov birligiga ega. Bu (1.48) formula masalaning aniq matematik qo’yilishi va uning aniq yechimidan kelib chiqadi. Integrallash o’zgarmasi ni (1.47) tenglikdan topib (1.46) formulaga qo’yamiz. Natijada ko’chishning almashtirilgan funksiya orqali ifodasini hosil qilamiz
(1.49)
Chegaraviy shartning (1.43) ifodasidagi I₂ funksiyani bo’yicha qatorga yoyib, hamda integrallash o’zgarmasi o’rniga uning (1.47) ifodasini qo’yib quyidagini hosil qilamiz
(1.50)
Endi funksiya va operatorlarni quyidagi ko’rinishda kiritamiz
(1.51)
U holda (1.50) tenglama ushbu ko’rinishda yoziladi
(1.52)
bu yerda
(1.53)
Yuqorida kabi belgilangan ifodaga asosan (z,t) o’zgaruvchili operatorning quyidagiga tengligini ko’rish qiyin emas [4]
(1.54)
Hosil qilingan (1.52) munosabat (1.54) ga muvofiq operator uchun sterjen ko’chishining bosh qismiga nisbatan tartibi cheksiz katta bo’lgan integro-differensial operatorni o’z ichiga oladi. Shunday qilib doiraviy sterjen nuqtalari buralma tebranishining bosh ko’chishlariga nisbatan umumiy tenglamalari (1.52) tenglama hisoblanadi. Bu tenglama z koordinata va t vaqt bo’yicha ixtiyoriy tartibli hosilani o’z ichiga oladi.
Ko’chishning (1.49) ifodasidan quyidagini hosil qilamiz
(1.55)
bunda
(1.56)
Sterjenning ixtiyoriy nuqtasidagi ko’chishni, (1.52) tenglama yechimi natijalari va (1.55), (1.56) formulalar orqali, xohlagan aniqlikda olish mumkin.
Sterjenning buralma tebranishlarida faqat ko’chish va va kuchlanishlar noldan farqli bo’ladi. Ularni funksiya orqali ifodalaymiz. Buning uchun , kuchlanishlarni
(1.57)
kabi tasvirlab, ularnng bu ifodalarini va -potensialning (1.37) ko’rinishini (1.31) formulaning va ifodasiga qo’yamiz

Hosil qilingan bu ifodaga (1.39) yechimidan (1.40) munosabatlarni hisobga olib tegishli hosilalar olsak, qo’yidagiga ega bo’lamiz
(1.58)
Hosil qilingan (1.58) ifodadagi I₁ va I_2­-modifikasiyalangan Bessel funksiyasini radial koordinata bo’yicha qatorga yoyib va o’zgarmasning qiymatini (1.47) formula bo’yicha qo’yamiz va kuchlanishlar uchun
(1.59)
ifodaga ega bo’lamiz.
Yuqoridagi va belgilashlarni hisobga olib (1.59) ifodani quyidagicha yozamiz
(1.60)
bunda –operatorlarni mos ravishda (1.56) va (1.53) formulalar orqali aniqlaymiz.
Doiraviy silindrik qayishqoq-elastik sterjenning buralma tebranishlarining olingan (1.52) tenglamalari umumiy hisoblanadi. Kuchlanishlarning (1.60) va ko’chishlarning (1.55) formulalari yordamida sterjenning ixtiyoriy kesimida vaqtning ixtiyoriy momentidagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini talab qilingan aniqlikda topish mumkin.

1.