|
A.B. HASANOV
XILL TENGLAMASI UCHUN
TESKARI MASALALAR
VA ULARNING TATBIQLARI
UDK
BBK
H
Monografiyada Xill operatori uchun spektral analizning toʻgʻri va teskari masalalariga oid muammolar bayon etilgan. Monografiyaning asosiy maqsadi – oliy oʻquv yurtlarida matematika, tatbiqiy matematika va informatika, mexanika va fizika bakalavr yoʻnalishlari boʻyicha tahsil olayotgan talabalarda spektral analizning toʻgʻri va teskari masalalariga boʻlgan qiziqishni oshirishdan iborat. Monografiyadan matematik tahlil, differensial tenglamalar, matematik fizika va nazariy fizika mutaxassisliklari boʻyicha tahsil olayotgan magistrantlar va doktorantlar ham foydalanishlari mumkin.
M a s’ u l m u h a r r i r l a r:
fizika-matematika fanlari nomzodlari A.B.Yaxshimurotov, Q.A. Mamedov
T a q r i z ch i l a r:
OʻzR FA akademiklari Sh.A.Alimov, M.S.Salohiddinov
ISBN ©_____________nashriyoti, 2013-y.
SOʻZBOSHI
Mazkur kitobda butun va yarim oʻqda berilgan Xill operatori uchun toʻgʻri va teskari spektral masalalarni yechish usullari hamda ularning tatbiqlari keltirilgan.
Klassik matematik fizikada ixtiyoriy funksiyani ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamaga qoʻyilgan chegaraviy masalaning xos funksiyalari boʻyicha Furye qatoriga yoyish masalasi muhim rol oʻynaydi. Bunda qaralayotgan interval chekli, differensial tenglama koeffitsiyentlari esa chegaralangan deb qaraladi. Bu yoʻnalishdagi ilk natijalar D.Bernulli, J.Dalamber, L.Eyler, J.Liuvill va C.Shturmlar tomonidan olingan. Ammo yuqorida zikr etilgan yoyilma analogini cheksiz interval yoki differensial tenglama koeffitsiyentlari maxsuslikka ega hollarda olish ancha murakkab masala hisoblanadi. Bu masala Gilbert fazosida berilgan chiziqli oʻz-oʻziga qoʻshma operatorlarning spektral nazariyasi yaratilganidan keyin, 1910-yilda G.Veyl tomonidan batafsil hal qilindi. Differensial operatorlar spektral nazariyasining asosiy gʻoyalari XX asrda G.D.Birkgof, G.Veyl, D.Gilbert, V.A.Steklov, E.Ch.Titchmarsh, M.A.Naymark, N.Levinson, M.G.Kreyn, B.M.Levitan, B.A.Marchenko va boshqa olimlar tomonidan rivojlantirilgan.
Spektral analizning teskari masalasi deganda differensial tenglama koeffitsiyentlarini va chegaraviy shartlarni chegaraviy masalaning spektral xarakteristikalari (spektrlar, spektral funksiya, sochilish nazariyasining berilganlari va hakazo) orqali tiklash masalasini tushunamiz. Hozirgi kunda teskari masalalar oddiy differensial operatorlarning ayrimlari uchungina yetarlicha toʻliq oʻrganilgan. Bu operatorlar orasida eng soddasi Shturm-Liuvill operatoridir:
, , .
Bu operator uchun qoʻyilgan teskari masalalar V.A.Ambarsumyan, G.Borg, A.N.Tixonov, N.Levinson, V.A.Marchenko, I.M.Gelfand, B.M.Levitan, M.G.Gasimov, M.G.Kreyn, L.D.Faddeyev, X.Xoxshtadt, V.A.Yurko va boshqa olimlar tomonidan oʻrganilgan.
Teskari masalar nazariyasining rivojiga muhim turtki boʻlgan ilk natija 1929-yilda V.A.Ambarsumyan tomonidan olingan:
Teorema (1929-yil, V.A.Ambarsumyan). Agar ushbu
, ,
haqiqiy koeffitsiyentli Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari , , boʻlsa, u holda boʻladi.
Bu teorema chegaraviy masalaning faqat xos qiymatlar ketma-ketligini bilgan holda koeffitsiyentni va chegaraviy shartlarni tiklash imkoni bor ekan degan gʻoyaga sababchi boʻldi. Bu taxmin notoʻgʻri boʻlib chiqdi, ya’ni faqat spektrning oʻzi koeffitsiyentni va chegaraviy shartlarni yagona aniqlash uchun yetarli emas. Masalan,
va
Shturm-Liuvill chegaraviy masalalari , bir xil spektrga ega.
Ambarsumyanning bu natijasi muhim ekanligiga birinchi boʻlib shved matematigi G.Borg e’tibor bergan. 1946-yilda G.Borg Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalani oʻzgacha qoʻyishni taklif qilgan. Jumladan, u Shturm-Liuvill operatori faqat bitta chegaraviy sharti bilan farq qiluvchi ikkita Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektrlari yordamida yagona tarzda aniqlanishini koʻrsatib bergan. Borgning yagonalik teoremasi 1949-yilda L.A.Chudov tomonidan chegaraviy shartlar ancha umumiyroq boʻlgan holda oʻrganilgan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
