|
chiziqli intеgral tеnglamani qanоatlantiradi. Bu yerda
,
, , .
Bu tenglama hozirgi kunda Marchenko integral tenglamasi nomi bilan mashhur.
Bundan tashqari V.A.Marchenko tomonidan toʻplam (12)-(13) koʻrinishdagi Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining sochilish nazariyasining berilganlari boʻlishi uchun zaruriy va yetarlilik shartlari topildi.
Yarim oʻqda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi L.D.Faddeyevning 1959-yildagi maqolasida yetarlicha toʻliq yoritilgan.
Chegaraviy shart umumiy, ya’ni koʻrinishda boʻlganda (14) Shturm-Liuvill tenglamasi uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi 1975-yilda B.M.Levitan tomonidan batafsil oʻrganilgan.
Yuqorida qaralgan sochilish nazariyasining teskari masalasi kompleks qiymat qabul qiluvchi va munosabatni qanoatlantiruvchi potensiallar sinfida V.Y.Lyanse tomonidan yechilgan.
Navbatdagi teskari masala, bu butun oʻqda berilgan Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasidir. Ushbu
, (18)
Shturm-Liuvill tenglamasini qaraylik. Bu yerda haqiqiy funksiya boʻlib,
shartni qanoatlantiradi. Bu shart bajarilganda (18) tenglamaning quyidagi
, , , ,
, , ,
asimptotikalarni qanoatlantiruvchi va yechimlari mavjud boʻladi. Bu yechimlarga Yost yechimlari deyiladi. Yost yechimlari uchun B.Y.Levin tasvirlari oʻrinli:
,
.
Bu yerdagi yadrolar potensial bilan quyidagi bogʻlanishga ega:
, .
Qaralayotgan (18) masalaning xos qiymatlari chekli va manfiy boʻladi. Bu xos qiymatlarni orqali, ularga mos keluvchi xos funksiyalarni orqali va normallovchi oʻzgarmaslarni orqali belgilaymiz. Ushbu va funksiyalarga mos ravishda oʻng va chap qaytish koeffitsiyentlari deyiladi. Qaralayotgan holda toʻplamga mos ravishda sochilish nazariyasining oʻng va chap berilganlari deyiladi. Sochilish nazariyasining oʻng yoki chap berilganlari orqali potensialni topish masalasiga sochilish nazariyasining teskari masalasi deyiladi. Sochilish nazariyasining bu turdagi teskari masalasi ilk bor I.Key, H.E.Moses, soʻngra L.D.Faddeyev tomonidan toʻplam koeffitsiyenti shartni qanoatlantiruvchi birorta Shturm-Liuvill operatorining sochilish nazariyasining berilganlari boʻlishi uchun zaruriy va yetarlilik shartlari topildi. Bu teskari masalani yechishda ham (17) koʻrinishdagi almashtirish operatorining yadrolariga nisbatan olingan chiziqli integral tenglama asosiy rolni oʻynaydi.
Tеоrеma (L.D.Faddeyev). Har bir tayinlagan uchun va yadrolar mos ravishda quyidagi
, , (19)
, (20)
chiziqli intеgral tеnglamalarni qanоatlantiradi. Bu yerda
.
Hozirgi kunda (19) va (20) tenglamalarga teskari masalaning asosiy integral tenglamalari yoki Gelfand-Levitan-Marchenko integral tenglamalari deyiladi. Keyinchalik bu masala V.A.Marchenko, B.M.Levitan, P.Deift, E.Trubovis tomonidan ham batafsil oʻrganilgan. Bu masala kompleks qiymat qabul qiluvchi va shartni qanoatlantiruvchi potensiallar sinfida V.A.Blashak tomonidan yechilgan.
Nihoyat, davriy koeffitsiyentli Shturm-Liuvill, ya’ni Xill operatori uchun toʻgʻri va teskari masalalar haqidagi ayrim zaruriy ma’lumotlarni bayon qilamiz.
1868-yilda Matye elliptik membrananing tebranish jarayonini oʻrganishni ushbu
oddiy differensial tenglamaga keltirdi. Bu yerda Hozirgi kunda bu tenglama Matye tenglamasi nomi bilan mashhur. Bundan tashqari matematik fizikaning bir qator masalalari, jumladan, davriy oʻzgaruvchan taranglikka ega boʻlgan torning tebranishini va massasi uzunlik birligi boʻyicha davriy taqsimlangan torning tebranishini oʻrganish jarayonlari ham Matye tenglamasiga keltiriladi. Matye tenglamasining koeffitsiyenti davrli haqiqiy funksiya boʻlgani uchun u ushbu
Xill tenglamasining xususiy holi ekanligi koʻrinib turibdi.
Davriy koeffitsiyentli ikkinchi tartibli bu tenglama 1876 - yilda G.W.Xill, 1980 yilda G.Floke va 1899 - yilda A.Lyapunofflar tomonidan o‘rganilgan. Xill tenglamasidan samoviy mexanikada, kvant mexanikasida, jumladan qattiq jismlarning kristal tuzilishini modellashtirishda va zamonaviy matematik fizikaning nochiziqli evolyutsion tenglamalarini integrallashda foydalaniladi. Shu boisdan bu mavzuning dolzarbligi yanada ortdi.
Shuning uchun kvadrati integrallanuvchi funksiyalarning fazosida ushbu
(21)
Xill operatorini qaraymiz. Bu yerda - haqiqiy, davrli funksiya boʻlib, shartni qanoatlantiradi. va orqali (21) tenglamaning , va , boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik. U holda operatorning spektri kesmalarning birlashmasidan iborat boʻladi:
.
Bu kesmalarning chetki nuqtalari
tengsizliklarni qanoatlantiradi. Ushbu intervallarga operatorning lakunalari deyiladi. Lakunalarning chetki nuqtalari, jumladan, sonlar ushbu
(22)
davriy chegaraviy masalaning, sonlar esa ushbu
(23)
yarimdavriy (полупериодический, антипериодический) chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat boʻlishi E.Ch.Titchmarshning monografiyasida keltirilgan.
E.Ch.Titchmarshning bu monografiyasida ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglamaning bazis yechimlari boʻyicha ixtiyoriy funksiyani Furye integraliga yoyish masalasi rezolventani kontur boʻyicha integrallash usuli yordamida amalga oshirilgan. Bu usul ancha murakkab boʻlib oʻquvchidan kompleks va funksional analiz fanlaridan chuqur bilim va koʻnikmaga ega boʻlishni talab qiladi.
Mazkur qoʻllanmaning ikkinchi bobida Xill operatorining spektral yoyilmasi ancha sodda usulda, ya’ni B.M.Levitan tomonidan taklif qilingan usulda keltirilib chiqariladi. Bu usulning afzalligi shundaki, butun oʻqda berilgan Xill tenglamasi uchun Parseval tengligini keltirib chiqarish maqsadida, avvalo, chekli oraliqda berilgan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun olingan Parseval tengligida biror ketma-ketlik boʻyicha limitga oʻtish mumkinligi asoslanadi.
Yuqorida zikr etilgan Levitan usuli bir-biridan xabarsiz holda K.Yosida va N.Levinson tomonidan ham qoʻllanilgan.
operatorning chekli lakunalari uzunliklarini orqali belgilaylik.
Do'stlaringiz bilan baham: |
