Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

Teorema. (X.Xoxshtadt). 1) Agar , ya’ni - marta uzluksiz differensiallanuvchi, haqiqiy davrli funksiya boʻlsa, u holda
,
boʻladi.
2) Agar operator spektridagi barcha chekli lakunalar yopilsa, ya’ni boʻlsa, u holda boʻladi.
3) Agar operator spektrida faqat bitta chekli lakuna yopilmasa, ya’ni boʻlsa, u holda elliptik funksiyadan iborat boʻladi.
4) Agar uzluksiz funksiya chekli zonali potensial, ya’ni ning biror qiymatidan boshlab , boʻlsa, u holda , ya’ni cheksiz differensiallanuvchi funksiya boʻladi.
5) soni potensialning davri boʻlishi uchun operator spektridagi nomerlari ga karrali boʻlmagan barcha lakunalarning yopilishi zarur va yetarli.
6) (22) davriy chegaraviy masalaning - eng kichik xos qiymatidan boshqa barcha xos qiymatlari ikki karrali boʻlishi uchun ushbu
(25)
tenglikning oʻrinli boʻlishi zarur va yetarli. Bu yerda
,
, , , (26)
.
7) (23) antidavriy chegaraviy masalaning va xos qiymatlaridan boshqa barcha xos qiymatlari ikki karrali boʻlishi uchun potensial quyidagi tenglikni qanoatlantirishi zarur va yetarli:
. (27)
Bu yerda .
Xill operatorining potensiali oʻzining spektral berilganlari orqali yagona aniqlanishi ilk bor 1970-yilda I.V.Stankevich tomonidan koʻrsatilgan.
V.A.Marchenkoning 1977-yildagi monografiyasida [186] quyidagi tasdiqlar isbotlangan.
Teorema. (1975-yil, V.A.Marchenko). Xill operatorining potensiali boʻlishi uchun, sonli qatorning yaqinlashuvchi boʻlishi zarur va yetarli.
Bu teoremadan, xususan, X.Xoxshtadt teoremasi toʻrtinchi bandining umumlashmasi, ya’ni Xill operatori lakunalarining uzunliklari ushbu

bahoni qanoatlantirsa, u holda cheksiz differensiallanuvchi davriy funksiya boʻlishi kelib chiqadi.