Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

Teorema. (1975-yil, V.A.Marchenko). Ushbu

sonlar ketma-ketligi haqiqiy davriy , koeffitsiyentli (22) davriy va (23) antidavriy chegaraviy masalalarning spektrlaridan iborat boʻlishi uchun quyidagi
, ,
shartlarni qanoatlantiruvchi , sonlar ketma-ketligining mavjud boʻlishi zarur va yetarli. Bu yerda funksiya ushbu

sohani yuqori yarim tekislikka konform akslantiradi.
Agar biz ushbu

siljigan argumentli Xill tenglamasini qaraydigan boʻlsak, uning spektri parametrga boʻgʻliq boʻlmaydi, ya’ni boʻladi, ammo uning spektral parametrlari parametrga bogʻliq boʻladi: . Bu spektral parametrlar quyidagi differensial tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi:

, . (28)
Bu differensial tenglamalar sisitemasi chekli zonali potensiallar holida 1975-yilda B.A.Dubrovin tomonidan, davriy potensiallar holida 1977-yilda E.Trubovis tomonidan va cheksiz zonali deyarli davriy potensiallar holida B.M.Levitan tomonidan keltirib chiqarilgan.
Dubrovin-Trubovis tenglamalar sistemasi (28) va ushbu
(29)
izlar formulasi birgalikda Xill operatori uchun qoʻyilgan teskari masalani yechish usulini beradi.
1977-yilda E.Trubovis Xill operatori uchun qoʻyilgan teskari spektral masalani oʻrganish jarayonida potensialning haqiqiy analitikligi va lakunalar uzunliklari ning eksponensial kamayishi orasidagi bogʻlanishini topgan.
Teorema. (1977-yil, E.Trubovis). Haqiqiy qiymatli, davrli, potensial analitik boʻlishi uchun unga mos keluvchi lakunalar uzunliklari eksponensial ravishda nolga intilishi zarur va yetarli, ya’ni shunday va sonlar topilib , , bahoning oʻrinli boʻlishi zarur va yetarli.
Aniq bitta davriy potensial uchun masalan, Matye potensiali uchun quyidagi savollarning tugʻilishi tabiiy:
1) -spektral lakuna yopiqmi, ya’ni tenglik bajariladimi, ya’ni va xos qiymatlar ikki karralimi?
2) Agar boʻlsa, u holda Matye tenglamasining lakunalari uzunliklaridan tuzilgan ketma-ketlikning asimptotikasi qanaqa?
Matye potensiali uchun birinchi savolga E.Ayns javob bergan.