Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

Ta’rif 2. Agar biror nomerdan boshlab, ushbu tenglik bajarilsa, u holda operatorning potensialiga chekli zonali deyiladi. Bu yerda sonlar ushbu
(24)
Dirixle chegaraviy masalasining xos qiymatlarini bildiradi.
Ta’rif 3. Ushbu sonlar ketma-ketligi va ishoralar ketma-ketligiga operatorning spektral parametrlari deyiladi.
Bu yerda va orqali (21) tenglamaning , va , boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari belgilangan.
Ta’rif 4. Spektrning chetki nuqtalari va spektral parametrlardan tashkil topgan toʻplamga operatorning spektral berilganlari deyiladi.
Xill operatorining spektral berilganlari orqali potensialini topish masalasiga teskari spektral masala deyiladi.
Chekli zonali potensiallar holida teskari spektral masala ilk bor 1961-yilda N.I.Axiezer tomonidan oʻrganilgan. N.I.Axiezer qoʻllagan usulning asosiy bosqichlaridan biri shundaki, u chekli zonali potensiallar uchun qoʻyilgan teskari spektral masalani Abel integrallarining teskarilanishi haqidagi Yakobi masalasiga keltiradi. Xususan, bir zonali potensial holida bu teskari masalani yechish jarayonida N.I.Axiezer ushbu

Lame tenglamasiga duch keladi. Bu yerda funksiya Veyershtrasning elliptik funksiyasi boʻlib, u va davrlarga ega . Bu holda – haqiqiy va – sof mavhum sonlar.
Shuni alohida eslatib oʻtish joizki, koeffitsiyentlari elliptik funksiyalardan iborat boʻlgan chiziqli oddiy differensial tenglamalar C.Hermite, G.H.Halfen va boshqa matematiklarning ishlarida oʻrganilgan. Bu ishlarda asosan bir jinsli differensial tenglamaning chiziqli erkli yechimlarini topish algoritmlari keltirilgan.
Koeffitsiyenti elliptik funksiyadan iborat boʻlgan ushbu

koʻrinishdagi Lame tenglamasi 1940-yilda E.Ayns tomonidan oʻrganilgan. Aynsning asosiy natijasi Lame potensialining chekli zonali ekanligini koʻrsatishdan iborat. Ammo E.Ayns bu ishida Lame operatorining spektral funksiyasini tuzish bilan shugʻullanmagan.
1963-yilda X.Xoxshtadt Xill operatori spektrining tuzilishini oʻrganish jarayonida davriy potensialning silliqligi bilan lakunalar uzunliklarining nolga intilish tartibi orasidagi toʻgʻri bogʻlanishni topdi.
1965-yilda N.I.Axiezerning ishidan bexabar ravishda X.Xoxshtadt davriy chekli zonali potensiallarni oʻrgana boshlagan. X.Xoxshtadt tomonidan turli yillarda olingan natijalarni bitta teorema koʻrinishida bayon qilamiz.