Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

Teorema (G.Borg). Agar sonlar
, , (1)
(2)
chegaraviy masalaning xos qiymatlari, sonlar esa
, , (3)
(4)
chegaraviy masalaning xos qiymatlari boʻlsa, u holda va xos qiymatlar ketma-ketligi haqiqiy funksiyani va , , sonlarni yagona tarzda aniqlaydi.
1949-yilda A.N.Tixonov yarim oʻqda berilgan Shturm-Liuvill operatorini “impedans” funksiyasi (ya’ni Veyl-Titchmarshning funksiyasi) yordamida yagona tarzda qurish mumkinligi haqidagi teoremani isbotlashga muvaffaq boʻldi.
Teorema (1949-yil, A.N.Tixonov). Quyidagi

tenglamaning koeffitsiyenti boʻlakli analitik funksiya boʻlib, shart bajarilsin. U holda koeffitsiyent , funksiya orqali bir qiymatli aniqlanadi. Bu yerda qaralayatgan tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimi.
A.N.Tixonovning bu teoremasi yer ichki qatlamlari elektrik hossalarini oʻrganish masalalarini matematik asoslashda muhim ahamiyatga ega. Veyl-Titchmarshning funksiyasi boʻyicha chiziqli oddiy differensial operatorni qurish algoritmi V.A.Yurko tomonidan batafsil oʻrganilgan.
Shturm-Liuvill operatori spektral nazariyasining teskari masalasini oʻrganishda almashtirish operatorlari muhim rol oʻynaydi. Ular ikkita har xil Shturm-Liuvill tenglamalarining yechimlarini oʻzaro bogʻlaydi. Almashtirish operatorlari ilk bor B.M.Levitan va J.Delsartlarning ilmiy ishlarida paydo boʻlgan. Bu operator ixtiyoriy Shturm-Liuvill tenglamasi uchun A.Povzner tomonidan qurilgan.
normallangan chiziqli fazo boʻlib, va uning va qism fazolarida aniqlangan chiziqli operatorlar boʻlsin.
Ta’rif 1. Oʻzi va teskarisi fazoda uzluksiz boʻlgan,

shartni qanoatlantiruvchi chiziqli operatorga va operatorlar uchun almashtirish operatori deyiladi.
boʻlib, va operatorlar quyidagi
,

koʻrinishga ega boʻlsin. Bu yerda , -berilgan uzluksiz funksiyalar.
orqali fazodagi , shartni qanoatlantiruvchi, ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar toʻplamini belgilaylik. Bu yerda va ixtiyoriy chekli haqiqiy sonlar.
Teorema (J.Delsart, B.M.Levitan, A.Povzner). va Shturm-Liuvill operatorlari uchun almashtirish operatori mavjud boʻlib, u uchun quyidagi tasvir oʻrinli:
. (5)
Bu yerda yadro quyidagi
(6)
tenglamani va
(7)
(8)
shartlarni qanoatlantiradi. Aksincha, funksiya (6) tenglamaning (7), (8) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi boʻlsa, (5) tenglik bilan aniqlangan operator va Shturm-Liuvill operatorlari uchun almashtirish operatori boʻladi.
Almashtirish оpеratоrining xossalaridan foydalanib, (1) Shturm-Liuvill tenglamasining , boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi uchun quyidagi
(9)
muhim tasvirni olishimiz mumkin. Bu yеrda funksiya pоtеntsial hamda sоn bilan
(10)
fоrmulalar yordamida bоgʻlangan.
Endi yarim oʻqda berilgan
, ,

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qaraylik. Bu yerda –haqiqiy funksiya, –berilgan haqiqiy son va -kompleks parametr. orqali tenglamaning boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini belgilaymiz.