Xill tenglamasi uchun teskari masalalar va ularning tatbiqlari

Teorema (1910-yil, G. Veyl). Ushbu Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun sonlar oʻqida aniqlangan, monoton oʻsuvchi, chapdan uzluksiz, shart bilan normallangan shunday funksiya mavjudki, fazodan olingan ixtiyoriy funksiya uchun

Parseval tengligi bajariladi. Bu yerda funksiya

ketma-ketlikning fazodagi limitini bildiradi.
Bunda funksiyaga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasi deyiladi. Spektral funksiya umuman olganda yagona emas.
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasini topishga toʻgʻri masala deyiladi. Berilgan spektral funksiya boʻyicha Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining potensialini va chegaraviy shartdagi sonni topish masalasiga spektral analizning teskari masalasi deyiladi.
Spektral analizning teskari masalasini yechishda almashtirish operatorlari ilk bor V.A.Marchenko, soʻngra I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan qoʻllanilgan.
1950-yilda V.A.Marchenko Shturm-Liuvill operatori oʻzining spektral funksiyasi orqali yagona aniqlanishini koʻrsatib berdi.
Teorema (1950-yil, V.A.Marchenko). Agar funksiya ushbu

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining birorta spektral funksiyasi, funksiya esa ushbu

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining birorta spektral funksiyasi boʻlib,

tenglik bajarilsa, u holda va tengliklar oʻrinli boʻladi. Bu yerda , - oraliqda aniqlangan haqiqiy, uzluksiz funksiyalar, –haqiqiy sonlar.
V.A.Marchenko yagonalik teoremasi e’lon qilingandan keyin spektral funksiya boʻyicha Shturm-Liuvill operatorini tiklash masalasi dolzarb boʻlib qolgan. Bu masala 1951-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan yechilgan. Soʻngra teskari masalani yechishning Gelfand-Levitan usuli B.M.Levitan, I.M.Gasimov va N.Levinson tomonidan mukammallashtirilgan.
Hozirgi kunga kelib teskari masalani yechishning bir nechta usullari bor. Bu usullar orasida Gelfand-Levitan usuli muhim oʻrin egallaydi. Bu usulda almashtirish operatori asosiy rolni oʻynaydi. Usulning asosiy bosqichlaridan biri almashtirish operatorining yadrosiga nisbatan olingan chiziqli integral tenglamadir.
Tеоrеma (1951-yil, I.M.Gelfand, B.M.Levitan). Har bir tayinlangan uchun (9) tasvirning yadrоsi ushbu
, (11)
chiziqli intеgral tеnglamani qanоatlantiradi. Bu yerda
,

Bu intеgral tеnglama tеskari masalaning asоsiy intеgral tеnglamasi yoki Gеlfand-Lеvitan intеgral tеnglamasi dеb yuritiladi.
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spektral funksiyasi boʻyicha teskari masalani yechish uchun avvalo (11) integral tenglamani yechib funksiyani topamiz, soʻngra (10) formulalar yordamida potensial va chegaraviy shartdagi sonni aniqlaymiz.
Chekli oraliqda berilgan (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini qaraylik. Bu masalaning xos qiymatlarini , orqali, ularga mos keluvchi xos funksiyalarni , оrqali va nоrmallоvchi oʻzgarmaslarni
,
оrqali belgilaylik. Bu holda va spеktral хaraktеristikalar yordamida funksiyani va , sоnlarni tоpish masalasiga Gelfand-Levitan usulini qoʻllash mumkin. Bunda Gelfand-Levitan integral tenglamasining yadrosi quyidagi

koʻrinishda boʻladi. Bu yerda
, ,
, , , , .
Keyingi teskari masala G.Borg yagonalik teoremasi isbotlangandan keyin hosil boʻlgan teskari masaladir. Bunda (1)+(2) va (3)+(4) Shturm-Liuvill chegaraviy masalalarining spektrlari, ya’ni va ketma-ketliklar yordamida bu chegaraviy masalalar koeffitsiyentlarini tiklash talab qilinadi. Bu teskari masalani yechish algoritmi ilk bor M.G.Kreyn tomonidan ishlab chiqildi. Soʻngra bu algoritm berilgan spektrlar tilida 1964-yilda B.M.Levitan va M.G.Gasimovlar tomonidan takomillashtirildi. Bu masalani yechish uchun, avvalo, berilgan va xos qiymatlar ketma-ketligi yordamida ushbu
, ,
formulalardan foydalanib, normallovchi oʻzgarmaslar ketma-ketligini aniqlaymiz. Soʻngra va spеktral хaraktеristikalar yordamida Gelfand-Levitan usulini qoʻllab, potensial va , , sоnlarni tоpamiz.
1978-yilda X.Xoxshtadt va B.Liberman quyidagi yagonalik teoremasini isbot qildilar.