|
Teorema (1978 yil, X.Xoxshtadt, B.Liberman). Agar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlar ketma-ketligi va koeffitsiyenti oraliqda berilgan boʻlsa, u holda oraliqda potensial va sonlar yagona aniqlanadi.
Bu yonalishdagi masalalar R. del Rio, F.Gesztesy, B.Saymon, R.Hryniv, Y.Mykytyuk va boshqa olimlarning ilmiy ishlarida umumlashtirilgan.
Agar G.Borg teoremasidagi (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasida kompleks qiymat qabul qiluvchi funksiya va - kompleks sonlar boʻlsa, u holda bu chegaraviy masalalarga mos keluvchi xos qiymatlarning cheklitasi chekli karrali, qolganlari oddiy boʻladi. Oʻz-oʻziga qoʻshma boʻlmagan bu chegaraviy masalalarning va xos qiymatlar ketma-ketligi kompleks qiymat qabul qiluvchi funksiyani va kompleks sonlarni yagona ravishda aniqlanishi B.Y.Levinning monografiyasida isbotlangan.
Hozirgi kunda chekli oraliqda berilgan oʻz-oʻziga qoʻshma boʻlmagan Shturm-Liuvill chegaraviy masalasi uchun teskari spektral masalalarni yechish algoritmi V.A.Yurko va uning oʻquvchilari tomonidan oʻrganilmoqda.
Navbatdagi teskari masala sochilish nazariyasining teskari masalasidir. Quyidagi
(12)
chegaraviy masalada haqiqiy funksiya
(13)
shartni qanoatlantirsin. U holda (12) chegaraviy masaladagi differensial tenglamaning ushbu
( )
asimptotikaga ega boʻlgan yechimi mavjud boʻladi. Bu yerdagi funksiyaga sochilish fazasi deyiladi.
Sochilish nazariyasining teskari masalasi ilk bor 1949-yilda N.Levinson tomonidan oʻrganilgan.
Teorema (1949-yil, N.Levinson). Agar (12) chegaraviy masala (13) shart bajarilganda manfiy xos qiymatlarga ega boʻlmasa, u holda uning sochilish fazasi potensialni yagona aniqlaydi.
Umuman olganda, (12)+(13) chegaraviy masalaning spektri cheklita manfiy xos qiymatlar va musbat oʻqning birlashmasidan iborat boʻladi. Bu xos qiymatlarni , , va ularga mos keluvchi xos funksiyalarni , , hamda normallovchi oʻzgarmaslarni , orqali belgilaymiz.
1949-yilda V.Bargman potensial sochilish fazasi orqali yagona aniqlanmasligiga doir bir nechta misollar tuzdi, ya’ni har xil Shturm-Liuvill operatori bir xil spektrga va sochilish fazasiga ega boʻlishi mumkinligini koʻrsatdi.
1950-yilda V.A.Marchenko bu muammoni hal qildi, ya’ni sochilish nazariyasining berilganlari sifatida ushbu toʻplamni olish kerakligini koʻrsatib berdi. Sochilish nazariyasining berilganlari yordamida teskari masalani yechish jarayonidagi yagonalik teoremasi ham V.A.Marchenko yagonalik teoremasining xususiy holidir.
1953-yilda sochilish nazariyasining berilganlari yordamida Shturm-Liuvill operatori potensialini tiklash masalasiga R.Jost va W.Kohn tomonidan Gelfand-Levitan usuli tatbiq qilindi. Ammo bu usulda topilgan potensialni (13) shartni qanoatlantirishini tekshirish va ushbu
formula orqali topilgan to’lqin funksiyasini ( ) shartni qanoatlantirishini tekshirish murakkab masala hisoblanadi. Chunki Gеlfand-Lеvitan intеgral tеnglamasida da limitga oʻtishning imkoni yoʻq.
1953-1955-yillari M.G.Kreyn yarim oʻqda berilgan N.Levinson teoremasining shartlarini qanoatlantiruvchi Shturm-Liuvill operatori uchun sochilish nazariyasining teskari masalasini yechishning yangi usulini yaratdi. Bu usul Gelfand-Levitan usulidan ancha farq qiladi. M.G.Kreyn usulining asosiy gʻoyasi ushbu
, (14)
Shturm-Liuvill tenglamasini unga ekvivalent boʻlgan quyidagi
(15)
birinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasi bilan almashtirishdan iborat. Bu yerda va funksiyalar oʻzaro ushbu
Rikkati tenglamasi orqali bogʻlangan. (14) Shturm-Liuvill tenglamasining , boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini orqali belgilaymiz.
M.G.Kreyn yechimni
koʻrinishda yozib oladi va , funksiyalar (15) sistemaning , boshlangʻich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat boʻlishini, hamda
koʻrinishda tasvirlanishini koʻrsatadi. Bu yerda
.
Bundan tashqari, u funksiya har bir tayinlangan uchun Fredgolm turidagi
(16)
integral tenglamani qanoatlantirishini isbotlaydi. Bu yerda
, .
Hozirgi kunda (16) tenglamaga M.G.Kreyn integral tenglamasi deyiladi.
M.G.Kreyn usulining afzallik tomoni shundaki, Shturm-Liuvill tenglamasining yechimini
formula orqali topib, uning dagi asimptotikasining bosh qismini aniqlash imkoni tug’iladi.
Sochilish nazariyasining berilganlari yordamida teskari masalaning yechimini topish muammosiga yana bir qadam B.Y.Levin tomonidan 1956-yilda tashlandi. U yuqorida zikr etilgan teskari masala yechimini topish jarayonida kerakli boʻladigan almashtirish operatorining ushbu
, (17)
koʻrinishini topishga muvaffaq boʻldi. Shu yilning o‘zida, V.A.Marchenko bu almashtirish operatorining yadrosiga nisbatan chiziqli integral tenglama keltirib chiqardi.
Tеоrеma (1956-yil,V.A.Marchenko). Har bir tayinlagan uchun (17) almashtirish operatorining yadrоsi ushbu
,
Do'stlaringiz bilan baham: |
