Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Задачи, приводящие к понятию производной

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение задач, которые показывают важность предела некоторого вида и тем необходимость его изучения. Такими задачами являются, например, задачи о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела в точке, о линейной плотности в точке, о проведении касательной к графику функции..
Задача о мгновенной величине тока
Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через q = q(t) количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Количество электричества есть функция времени, так как каждому значению времени t соответствует определенное значение количества электричества. Путь ∆t- некоторый промежуток времени, ∆q=q(t+∆t)-q(t) - количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t +∆t. Тогда отношение называют средней силой тока за промежуток времени ∆t и обозначают I_ср. Иначе говоря, средней силой тока называется количество электричества, протекающее по проводнику за единицу времени. Поэтому для цепи переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени.
Мгновенной силой тока в момент t называется предел отношения приращения количества электричества ∆q ко времени ∆t, за которое произошло это приращение, при условии, что ∆t→0.Он обозначается .
Задача о скорости химической реакции Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества, уже вступившего в реакцию к моменту времени t, обозначим через у(t). Таким образом, у есть функция времени, т.е. переменной t. Если ∆t - некоторый промежуток времени, то за промежуток времени от момента t до момента t+∆t вступит в реакцию еще некоторое количество вещества ∆y=y(t+∆t)-y(t). Следовательно, отношение выразит среднюю скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Для характеристики скорости химической реакции в данный момент t следует рассмотреть предел этого отношения при ∆t→0,т.е. .
Итак, подводя итог, следует обратить внимание учащихся на то, что в рассмотренных задачах речь идет о понятии мгновенной силы тока как величине, характеризующей скорость изменения количества электричества с течением времени; о скорости химической реакции в момент времени как скорости изменения количества вещества, участвующего в этой реакции, с течением времени. Отмечается, что введение рассмотренных выше понятий проводилось с помощью предела особого вида, а именно предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. В результате рассмотрения задач такого рода учащиеся должны прийти к выводу о том, что понятие скорости изменения функции необходимо при решении большого числа задач, важных в практическом отношении.

3.