Учебное пособие "Методика преподавания математики"

3. Рассмотрим некоторые задачи из геометрии и физики, ко­торые при первом подходе к введению понятия интеграла (т. е. как приращению первообразной) следует рассмотреть в конце темы «Интеграл» как иллюстрацию связи интеграла с физикой и геомет­рией, а при втором подходе (т. е. когда интеграл рассматривается как предел интегральных сумм) с них целесообразно начинать, т. е. использовать их как задачи, приводящие к понятию интеграла.
К числу таких задач следует отнести, прежде всего, такие важней­шие задачи, как задача о площади плоской фигуры, задача о вы­числении пути, задача о силе давления жидкости и др. Разберем эти задачи.


Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть в плоскости, снабженной декартовой системой коорди­нат, задана фигура аАВb, ограниченная отрезком [а, b] оси Ох,

п рямыми х = a и х = b кривой у = f (х), где f (х) — однознач­ная, непрерывная, неотрица­тельная на отрезке [а, b] функ­ция (рис. 1). Такую фигуру называют криволинейной тра­пецией с основанием [а, b].
Отметим, что данная здесь терминология отличается от при­нятой в курсе элементарной гео­метрии, где отрезок [а, b] назы­вается высотой трапеции, а основаниями трапеции называются отрезки параллельных прямых х = а и х = b. Отметим также, что точка А может совпадать с точкой а, а точка В - с точкой b. Поставим задачу: «Найти площадь криволинейной трапеции».
Для решения поставленной задачи поступают следующим обра­зом. Разбивают отрезок [а, b] на п частей одинаковой длины: где точки a_i есть а=а₀,а₁,а₂,...,а_п-1,а_п=b(a₀₁₂<…_n)
Затем через точки деления a_i (i =1, 2, ..., п - 1) проводят прямые параллельные оси Оу. В ре­зультате проделанной операции данная криволинейная трапеция аAВb разбивается на п криволинейных трапеций с основаниями [a_i-1, a_i] (i = 1, 2, …, n).
На каждом отрезке [a_i-1, a_i] (i=1,2,..., п) выбирают произ­вольную точку x_i (a_i-1 x _i а_i ). Далее строят прямоугольники с основаниями, равными
, и высотами длины f (x_i) (i = 1, 2, ..., п), площадь каждого такого прямоугольника рав­на произведению . Из построен­ных прямоугольников образуют ступенчатую фигуру (рис. 1), площадь которой вычисляется по формуле



Это есть приближение площади криволинейной трапеции аАВb. Очевидно, что, чем мельче отрезки деления [a_i-1, a_i] (i = 1, 2, ... .... п), тем лучше будет приближение. Поэтому, если рассмотреть, то получим площадь криволинейной трапеции. Если понятие интеграла уже введено, то можно записать, что пло­щадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле
Задача о вычислении пути


Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой мгновенной скоростью , т. е. известна скорость точки в любой момент времени t, - непрерывная функция на отрезке [T₁, Т_г]. Требуется найти путь, который пройдет тело за промежу­ток времени от t_L = Т₁ до