Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2.8. Методика изучения первообразной

План

1. 
   Различные подходы к изложению темы.
   
2. 
   Различные определения первообразной.
   
3. 
   Методика изучения понятия "Первообразная функции".
   

1. 
   Различные подходы к изложению темы
   

В учебной и методической литературе встречается разный порядок изложения вопросов интегрального исчисления.
Иногда введение и изучение определенного интеграла не связываются с использованием производной. Чаще до введения определенного интеграла понятие производной уже дано. Тогда авторы по-разному выбирают порядок изучения определенного интеграла и первообразной: либо раньше дается определение определенного интеграла, а первообразная появляется, когда учащиеся в достаточной мере могут оценить преимущества, даваемые формулой Ньютона - Лейбница, либо сначала вводится понятие первообразной, а потом определенный интеграл, причем определения его могут быть разными (интеграл рассматривается как приращение первообразной или как предел интегральных сумм), но в вычислении определенного интеграла основную роль играет применение первообразной.
Последний подход преобладает в учебниках и учебных пособиях для средней школы. Такой порядок более соответствует школьной программе: изучение понятия первообразной функции естественным образом связывается с теми вопросами дифференциального исчисления, которые входят в школьную программу, а возможность применения первообразной дает богатый материал для решения задач.

2. 
   Различные определения первообразной
   

Начнем с определения первообразной. Сравним два определения.
1. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(х)=f(х).
2. Функция F(х) называется первообразной в промежутке от функции f(х), если в этом промежутке функция F(х) непрерывна, а в каждой внутренней точке промежутка справедливо равенство F'(х)=f(х).
Первое определение короче за счет того, что формируется более сильное требование: на концах промежутка требуется дифференцированность, а не непрерывность, как во втором определении. Первое определение мы примем для дальнейшего изложения.
Иногда авторы пособий отказываются от указания промежутка, в котором рассматривается первообразная. Вред ли это стоит делать: правда, большей частью ученики будут встречаться со случаями, когда функция и ее первообразная определены на множестве действительных чисел, но встречаются и другие случаи. Например, при доказательстве теоремы о производной площади криволинейной трапеции соответствующая функция рассматривается на отрезке.

3.