Учебное пособие "Методика преподавания математики"

4. После усвоения определения предела последовательности аналогичным образом ведется работа над определением предела функции.


5. Задание. Методику изучения предела и непрерывности функции рассмотрите по учебному пособия В.И. Мишина.


Вопросы для самоконтроля.
1. Что такое числовая последовательность?
2. Какие виды числовых последовательностей Вы знаете?
3. Что называется арифметической прогрессией, геометрической прогрессией?
4. Каковы методические особенности изучения арифметической и геометрической прогрессий в школьном курсе математики?
5. Какова роль аналогий при изучении прогрессий?
6. Что называется пределом последовательности?
7. Какова необходимость введения данного понятия в школьном курсе математики?
8. Как можно ввести понятие предела на наглядно-интуитивном уровне?
9. Чем отличается числовая последовательность от функции?
10. Что называется пределом функции в точке?
11. Какова методика разъяснения учащимся структуры и внутренней логики определений предела последовательности и предела функции?
12. Какую пропедевтическую работу необходимо проводить с учащимися V - IX классов?
13. Каковы методические особенности изучения теорем о вычислении пределов?
14. Какая функция называется непрерывной? Какова пропедевтика этого понятия?

2.7. Методика изучения понятия производной. Производные элементарных функций

План

1. 
   Пропедевтика понятия производной.
   
2. 
   Задачи, приводящие к понятию производной.
   
3. 
   О различных формулировках определений производной.
   
4. 
   Введение понятия производной.
   

1. 
   Пропедевтика понятия производной
   

Основная идея дифференциального исчисления - представление о функции как линейной в достаточно малой окрестности точки. Отсюда первое направление пропедевтики - глубокое изучение линейной функции.
К моменту введения производной учащимся должно быть известно определение линейной функции, вид ее графика и утверждение: всякая прямая, не параллельная оси ординат, является графиком некоторой линейной функции. Важно, чтобы учащиеся имели отчетливое представление об угле, составленном прямой с осью абсцисс (величину этого угла будем называть углом наклона прямой). Угол наклона прямой удовлетворяет неравенству 0°≤α<180°. Заметим, что если график функции расположен в нижней полуплоскости, то учащиеся иногда делают ошибку в выборе указанного угла. От этой ошибки их надо предостеречь. Главным итогом пропедевтики этого направления должно стать прочное усвоение того, что если линейная функция задана формулой у=кх+в, то тангенс угла наклона прямой, являющейся графиком этой функции, равен к.
Второе направление - работа над понятиями приращения аргумента и приращения функции. При введении понятий приращения аргумента и приращения функции удобно использовать обозначения ∆x, ∆y, ∆f(x) ( а не обозначать их одной буквой), так как видно, приращение какой переменной рассматривается. Следует предупредить учащихся о том, что символ ∆ заменяет слово "разность", но его нельзя отрывать от обозначения переменной, стоящей следом за ∆.Основные равенства, содержащие этот символ, таковы:
х-х₀=∆x, т.е. х=х₀+ ∆x; f(x)-f(x₀)= ∆f(x₀), т.е. f(x₀+∆x)-f(x₀)= ∆f(x₀).
Подчеркнем роль геометрических иллюстраций. На рисунке можно показать, что приращение аргумента может быть положительным, отрицательным, равным нулю; то же показано и для приращения функции. Среди упражнений на закрепление введенных определений должны быть такие, где требуется найти приращение функции в точке х, соответствующее приращению аргумента ∆x, а затем отношение .Важно научить находить их в каждом конкретном случае.
Примеры. Найти , если а) у=х²; б) у=х³; в) у=3х²+2х+1; г) у=ах²+вх+с; д) у=кх+в.
При введении определения производной учащиеся должны отчетливо представлять, что в этом случае отношение является функцией ∆x; на ряде примеров необходимо подготовить понимание этого факта. Исключительно важны для дальнейшего их использования геометрическая и механическая интерпретация отношения .
Третье направление - введение понятий "касательная" и "кривая". Поскольку задача о проведении касательной к кривой сыграла огромную роль в создании математического анализа, послужив математической моделью для большого числа различных естественнонаучных задач, ей уделяется большое внимание в учебной литературе по математическому анализу. Для школьного курса она играет основную роль при формировании геометрической интуиции, связанной с понятием производной.

2.