Учебное пособие "Методика преподавания математики"

4. Степенная функция.
С частными случаями степенной функции учащиеся знакомятся в 9 классе средней школы (среднее звено). Ей уделено 10 часов. Из степенных функций с натуральным показателем учащиеся знакомятся с функциями у=х, у=х², у=х³ (график этой функции называется кубической параболой). Степенная функция с целым отрицательным показателем встречается только в виде частного случая, так называемой обратной пропорциональности: . Примером степенной функции с дробным показателем является функция . В 9 классе вводится понятие степенной функции, изучаются ее свойства, строятся графики.
Понятие степенной функции углубляется в курсе математики академического лицея, только после изучения тем дифференциального и интегрального исчислений, показательной и логарифмической функций. Поскольку производная уже известна, то исследование функции проводится по полной схеме.
Заметим, что степенная функция вводится следующим образом: "Функция вида f(x)=x^p, определенная на интервале (0;+ ∞), называется степенной (с показателем степени p)".
Аналогично предыдущим функциям строится таблица.
Степенная функция f(x)=x^p (D(y)= (0;+ ∞)).

2.4. Методика изучения логарифмической и показательной функции

План

1. 
   Примеры, приводящие к показательной функции.
   
2. 
   Введение логарифмической функции как обратной показательной.
   
3. 
   Свойства и графики показательной и логарифмической функций
   

1. 
   Примеры, приводящие к показательной функции.
   

Одной из важных задач курса математики старших классов является развитие и в некотором смысле завершение всех основных линий, составляющих основу школьного математического образования, в том числе систематизация и углубление знаний о функции. В этом аспекте и следует рассматривать изучение показательной функции в XI классе.
Изучение показательной функции, равно как и логарифмической, представляет большие возможности для обогащения знаний учащихся о функциях вообще, о способах их задания, о связи способа задания со свойствами функции. На примере показательной функции можно развить представления о функциях как о моделях процессов и закономерностных связей явлений. Это подчеркивает важную в мировоззренческом плане мысль о том, что широта применимости математических методов, общность математических понятий определяются единством материального мира.
Рассмотрим ситуации, для описания которых употребляется показательная функция.
1. Если однолетнее растение дает 100 семян и из них прорастет половина, то за каждый год, т.е. при увеличении времени на единицу, число растений увеличивается в 50 раз. (Конечно, в естественных условиях погибает большая часть растений, но в идеальных условиях, которые иногда возникают в природе или создаются искусственно человеком, рост числа особей идет именно так)
2. Сберкасса выплачивает вкладчикам проценты по вкладам в размере 2% в год, т.е. за каждый год вклад увеличивается в 1,02 раза.
При использовании этого примера следует иметь в виду, что проценты начисляются только в конце года (т.е. формула, выражающая зависимость величины вклада от времени, y=1,02x, верна только для целых значений х), а в течение года считается, что вклад растет линейно: за полгода начисляется 1%, за три месяца (если вкладчик имеет вклад) - 0,5% и т.д.
Во всех приведенных примерах рассмотрены такие процессы и явления, для которых характерно общее свойство: при изменении значения одной величины на некоторое постоянное число значение другой величины изменяется в одном и том же отношении, т. е. умножается на постоянный множитель.
В примере 1 при возрастании времени на 1 год число растений увеличивается в 50 раз, т.е. умножалось на 50. В примере 2 при увеличении времени на 1 год величина вклада увеличивается на 2%, т. е. умножалась на 1,02 и т.д.
Характерно и то, что и за другие равные промежутки времени изменение рассматриваемой величины следует тому же закону. Например, за любые два года число растений (пример 1) увеличивается в 2500 раз.
Если проводить, как это всегда делается в математике, изучение таких зависимостей между величинами, отвлекаясь от реального смысла процесса, то задачу можно сформулировать так: "Найти функцию, обладающую следующим свойством: если аргумент получает равные приращения, то значения функции увеличиваются (или уменьшаются) в одном и том же отношении".
Далее можно сразу сообщить учащимся, что таким свойством обладает показательная функция f(x)=a^x , и показать, что действительно равным приращениям аргумента соответствует увеличение или уменьшение значений в одном и том же отношении. Перечисляются свойства показательной функции, изображается график.
Среди упражнений по закреплению свойств показательной функции рекомендуется включать разнообразные упражнения на построение и узнавание графиков функций.