Введем новую переменную с помощью формулы

1. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ И ЕГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, кроме того и выполнены условие (42), условия согласования (29), (30), (44), (45). Тогда на отрезке существует единственное решение обратной задачи (23)-(25), (28) из класса и каждая компонента определяется заданием для .
Доказательство. Рассмотрим теперь квадрат

Уравнения (38),(41) и (43), дополненные начальными и граничными условиями из равенств (23) образует в замкнутую систему уравнений относительно неизвестных ,
Уравнения (38),(41) и (43 показывают, что значения функций при выражаются через интегралы от некоторых комбинаций этих же функций по отрезкам, лежащим в .
Запишем уравнения (38),(41) и (43) в виде замкнутой системы интегральных уравнений вольтеровского типа второго рода. Для этого введем в рассмотрение вектор-функция задав их компоненты равенствами

Тогда система уравнений (38),(41) и (43) принимает операторную форму

(46)

где оператор в соответствии с правыми частями уравнений (38),(41) и (43) определен равенствами



где
В этих формулах введены обозначения


Определим на множестве непрерывных функций норму

некоторое число, которое будет выбрано позже. Очевидно, что при это пространство совпадает с пространством непрерывных функций с обычной нормой В силу неравенства

нормы и эквивалентны для любого
Далее рассмотрим множество функций удовлетворяющих неравенству

(5)

где вектор-функция определена свободными членами операторного уравнения (1). Нетрудно заметить, что для имеет место оценка Таким образом, -известное число.
Введем следующие обозначения:





Оператор переводит пространство в себя. Покажем, что при подходящем выборе он является на множестве оператором сжатия. Убедимся вначале в том, что оператор переводит множество в себя, т.е. из условия следует, что если удовлетворяет некоторым ограничениям. В самом деле, для любых и любого выполняются неравенства:











Отсюда и из формулы (46) и (47)-(49) следует, что


где Выбирая получим, что оператор переводит множество в себя.
Возьмем теперь любые функции и оценим норму разности . Используя, очевидное неравенство

и оценки для интегралов, аналогичные приведенным выше, получим




.
Аналогично получим следующие оценки


Отсюда имеем


где Выбирая теперь получим, что оператор сжимает расстояние между элементами на
Как следует из проделанных оценок, если число выбрано из условия то оператор является сжимающим на В этом случае согласно принципу Банаха [40, стр. 87–97] уравнение (46) имеет единственное решение в для любого фиксированного . Теорема 2 доказана.
По найденным функциям функции находятся по формулам