Введем новую переменную с помощью формулы

Исследование прямой задачи
Пусть проекция области на плоскость переменных Рассмотрим произвольную точку на плоскости переменных и проведем через нее характеристику го уравнения системы (16) до пересечения в области с границией Уравнение ее имеет вид

(17)

При эта точка лежит либо на отрезке оси либо на прямой а при либо на отрезке либо на прямой (Рис.).

3. Характеристические линии.
Интегрируя ю компоненту равенства (16) по характеристике (17) от точки до точки , находим

(18)

Определим в (18) . Она зависит от координат точки . Не трудно заметить, что имеет вид
(19)
Тогда, из условия того, что пара удовлетворяет уравнению (17) следует
(20)
Свободные члены интегральных уравнений (17) определяются через начальные и граничные условия (13) и (14) следующим образом:
(21)
Требуем, чтобы функции были непрерывными в области . Заметим, что для выполнения этих условий заданные функции и должны удовлетворять условиям согласования в угловых точках области :

(22)

Здесь и далее значения функций при и функций при и понимаются как предел в этих точках при стремлении аргумента с той стороны точки, где эти функции определены.
Предположим, что все заданные функции, входящие в (18) являются непрерывными функциями своих аргументов в : тогда эти система уравнений являются замкнутой системой интегральных уравнений вольтеровского типа второго рода с непрерывными ядрами и свободными членами. Как обычно, такая система имеет единственное решение в ограниченной подобласти некоторое фиксированные число.
Введем в рассмотрение вектор-функцию . Чтобы получить задачу для функции подобной (13)-(16) дифференцируем уравнения (16) и граничные условия (18) по переменной а условие при найдем с помощью уравнений (16) и начальных условий (13). При этом получим

		(23)
		(24)
		(25)

где

(26)

Снова интегрирование вдоль соответствующих характеристик приведет задачу (23)-(25) к интегральным уравнениям

(27)

Для функций дополнительные условия (15) условия выглядят как

(28)

В уравнениях (27) определяются следующим образом:

Пусть выполнены условия

(29)

(30)

Не трудно заметить, что условия согласования начальных (24) и граничных (25) данных в угловых точках области совпадают с соотношениями (29) и (30). Отсюда ясно, что при выполнении тех же равенств (29) и (30) уравнения (23) будут иметь единственные непрерывные решения или те же самые .
Итак, мы доказали следующее утверждение: