Вступление раздел некоторые применения производной

Пример:
Доказать, что 
Решение:
Левая часть этого неравенства равна площади прямоугольной 
трапеции, основания которой равны значениям функции в точках
, 
т.е, и , а высота- 
. Функция выпуклая. Поэтому площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной ее графиком, прямыми 
, 
и отрезком 
оси меньше площади прямоугольной трапеции. 
Итак,
 
Подобный результат имеет место и общем случае. Пусть функция на 
отрезке 
непрерывна, положительна и выпукла. Тогда 
 
Если же непрерывная, положительная функция вогнута, то 
 
Пример:
Доказать, что для 
выполняется неравенство 
Решение: Функция 
непрерывна, положительна, вогнута. 
Поэтому для нее выполняется неравенства (2), где 
. Имеем 

---

График функции, выпуклой на отрезке 
лежит выше любой 
касательной к этому графику, в частности касательной, провеленной через 
точку кривой с абсциссой 
Если касательная пересекает ось абсцисс вне отрезка 
, то она отсекает от 
криволинейной трапеции прямоугольной трапецию, а не треугольник. 
Площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии 
на высоту 
. Поэтому 
 
Аналогично, если функция вогнута, то
Соотношение остается справедливым если касательная к графику 
пересекает ось абсцисс в точках и . 

---

2.4 Некоторые классические неравенства и их применение 
Среди неравенств выделяют ряд известных классических неравенств. Многие 
из них были доказаны знаменитыми математиками и названы их именами. К 
ним, в частности, относятся неравенства Бернулли, Юнга, Гельдера, Коши, 
Минковского (конечно, это далеко не полный список). Соотношение между 
основанными классическими неравенствами можно представить в виде др
Приведем вывод некоторых замечательных неравенств помощью 
интегрального исчисления. Эти неравенства широко используется в 
математике, в том числе и при решении элементарных задач. 

---

Пусть 
- непрерывная возрастающая при 
функция. Кроме того, 
некоторые положительные действительные 
числа. Из школьного курса математики известно, что если функция
возрастает и непрерывна на некотором промежутке, то существует 
функция
, обратная функции .Функция
непрерывна и возрастает в 
облости своего определения. 
Отсюда следует, что для данной функции существует непрерывная 
возрастающая обратная функция 
такая, что 
, 
. 
Графики зависимостей 
и 
совпадают. 
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
, 
равна
 
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
, 
равна 
 
В последнем равенстве мы переобозначили переменную интегрирования, 
что, конечно, несущественно при вычислении интеграла. Поскольку 
площадь прямоугольника равна сумме площадей и , то

---

Может оказать, что 
не равно заданному числу , т.е. 
или 
В каждом из этих случаев площадь прямоугольника меньше суммы 
площадей криволинейных трапеций, равной 
Объединяя эти три случая, получаем следующий результат. 
Пусть и 
- две непрерывные возрастающие взаимно обратные функции, 
обращающиеся в нуль в начале координат. Тогда для 
имеет 
место неравенство 
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда 
. Это неравенство 
называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других 
важных неравенств.