Пример:
Доказать, что
Решение:
Левая часть этого неравенства равна площади прямоугольной
трапеции, основания которой равны значениям функции в точках
,
т.е, и , а высота-
. Функция выпуклая. Поэтому площадь
криволинейной трапеции, ограниченной ее графиком, прямыми
,
и отрезком
оси меньше площади прямоугольной трапеции.
Итак,
Подобный результат имеет место и общем случае. Пусть функция на
отрезке
непрерывна, положительна и выпукла. Тогда
Если же непрерывная, положительная функция вогнута, то
Пример:
Доказать, что для
выполняется неравенство
Решение: Функция
непрерывна, положительна, вогнута.
Поэтому для нее выполняется неравенства (2), где
. Имеем
График функции, выпуклой на отрезке
лежит выше любой
касательной к этому графику, в частности касательной, провеленной через
точку кривой с абсциссой
Если касательная пересекает ось абсцисс вне отрезка
, то она отсекает от
криволинейной трапеции прямоугольной трапецию, а не треугольник.
Площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии
на высоту
. Поэтому
Аналогично, если функция вогнута, то
Соотношение остается справедливым если касательная к графику
пересекает ось абсцисс в точках и .
2.4 Некоторые классические неравенства и их применение
Среди неравенств выделяют ряд известных классических неравенств. Многие
из них были доказаны знаменитыми математиками и названы их именами. К
ним, в частности, относятся неравенства Бернулли, Юнга, Гельдера, Коши,
Минковского (конечно, это далеко не полный список). Соотношение между
основанными классическими неравенствами можно представить в виде др
Приведем вывод некоторых замечательных неравенств помощью
интегрального исчисления. Эти неравенства широко используется в
математике, в том числе и при решении элементарных задач.
Пусть
- непрерывная возрастающая при
функция. Кроме того,
некоторые положительные действительные
числа. Из школьного курса математики известно, что если функция
возрастает и непрерывна на некотором промежутке, то существует
функция
, обратная функции .Функция
непрерывна и возрастает в
облости своего определения.
Отсюда следует, что для данной функции существует непрерывная
возрастающая обратная функция
такая, что
,
.
Графики зависимостей
и
совпадают.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
равна
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,
равна
В последнем равенстве мы переобозначили переменную интегрирования,
что, конечно, несущественно при вычислении интеграла. Поскольку
площадь прямоугольника равна сумме площадей и , то
Может оказать, что
не равно заданному числу , т.е.
или
В каждом из этих случаев площадь прямоугольника меньше суммы
площадей криволинейных трапеций, равной
Объединяя эти три случая, получаем следующий результат.
Пусть и
- две непрерывные возрастающие взаимно обратные функции,
обращающиеся в нуль в начале координат. Тогда для
имеет
место неравенство
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда
. Это неравенство
называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других
важных неравенств.
Do'stlaringiz bilan baham: |