Вступление раздел некоторые применения производной


Пример: Доказать, что  Решение



Download 1,1 Mb.
Pdf ko'rish
bet11/12
Sana24.02.2022
Hajmi1,1 Mb.
#229532
TuriЗадача
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
Bog'liq
2 5229187884778524001

Пример:
Доказать, что 
Решение:
Левая часть этого неравенства равна площади прямоугольной 
трапеции, основания которой равны значениям функции в точках

т.е, и , а высота- 
. Функция выпуклая. Поэтому площадь 
криволинейной трапеции, ограниченной ее графиком, прямыми 

и отрезком 
оси меньше площади прямоугольной трапеции. 
Итак,
 
Подобный результат имеет место и общем случае. Пусть функция на 
отрезке 
непрерывна, положительна и выпукла. Тогда 
 
Если же непрерывная, положительная функция вогнута, то 
 
Пример:
Доказать, что для 
выполняется неравенство 
Решение: Функция 
непрерывна, положительна, вогнута. 
Поэтому для нее выполняется неравенства (2), где 
. Имеем 


График функции, выпуклой на отрезке 
лежит выше любой 
касательной к этому графику, в частности касательной, провеленной через 
точку кривой с абсциссой 
Если касательная пересекает ось абсцисс вне отрезка 
, то она отсекает от 
криволинейной трапеции прямоугольной трапецию, а не треугольник. 
Площадь прямоугольной трапеции равна произведению ее средней линии 
на высоту 
. Поэтому 
 
Аналогично, если функция вогнута, то
Соотношение остается справедливым если касательная к графику 
пересекает ось абсцисс в точках и . 


2.4 Некоторые классические неравенства и их применение 
Среди неравенств выделяют ряд известных классических неравенств. Многие 
из них были доказаны знаменитыми математиками и названы их именами. К 
ним, в частности, относятся неравенства Бернулли, Юнга, Гельдера, Коши, 
Минковского (конечно, это далеко не полный список). Соотношение между 
основанными классическими неравенствами можно представить в виде др
Приведем вывод некоторых замечательных неравенств помощью 
интегрального исчисления. Эти неравенства широко используется в 
математике, в том числе и при решении элементарных задач. 


Пусть 
- непрерывная возрастающая при 
функция. Кроме того, 
некоторые положительные действительные 
числа. Из школьного курса математики известно, что если функция
возрастает и непрерывна на некотором промежутке, то существует 
функция
, обратная функции .Функция
непрерывна и возрастает в 
облости своего определения. 
Отсюда следует, что для данной функции существует непрерывная 
возрастающая обратная функция 
такая, что 


Графики зависимостей 
и 
совпадают. 
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 

равна
 
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями 

равна 
 
В последнем равенстве мы переобозначили переменную интегрирования, 
что, конечно, несущественно при вычислении интеграла. Поскольку 
площадь прямоугольника равна сумме площадей и , то


Может оказать, что 
не равно заданному числу , т.е. 
или 
В каждом из этих случаев площадь прямоугольника меньше суммы 
площадей криволинейных трапеций, равной 
Объединяя эти три случая, получаем следующий результат. 
Пусть и 
- две непрерывные возрастающие взаимно обратные функции, 
обращающиеся в нуль в начале координат. Тогда для 
имеет 
место неравенство 
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда 
. Это неравенство 
называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других 
важных неравенств. 

Download 1,1 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish