Восстановление пропущенных данных методом кубического сплайна

S_i(x_{i - 1}) = a_i = y_{i - 1},
S_i(x_i) = a_i + b_ih_i + c_ih + d_ih = y_i,

где

h_i = x_i - x_{i - 1}, i = 1, 2, ..., n.

Следующие 2n - 2 уравнения вытекают из условия непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции, т. е. условия гладкости кривой во всех точках.

S' _{i + 1}(x_i) = S' _i(x_i), i = 1, ..., n - 1,' ' _{i + 1}(x_i) = S' ' _i(x_i), i = 1, ..., n - 1,
S' _i (x) = b_i + 2 c_i (x - x_{i - 1}) + 3 d_i (x - x_{i - 1}),
S' _{i + 1} (x) = b_{i + 1} + 2 c_{i + 1} (x - x_i) + 3 d_{i + 1} (x - x_i).

Приравнивая в каждом внутреннем узле x = x_i значения этих производных, вычисленные в левом и правом от узла интервалах, получаем (с учетом h_i = x_i - x_{i - 1}):

b_{i + 1} = b_i + 2 h_i c_i + 3h d_i, i = 1, ..., n - 1,' ' _i(x) = 2 c_i + 6 d_i (x - x_{i - 1}),' ' _{i + 1}(x) = 2 c_{i + 1} + 6 d_{i + 1} (x - x_i),

если x = x_i

c_{i + 1} = c_i + 3 h_i d_i, i = 1,2, ..., n - 1.

На данном этапе мы имеем 4n неизвестных и 4n - 2 уравнений. Следовательно, необходимо найти еще два уравнения.

При свободном закреплении концов можно приравнять к нулю кривизну линии в этих точках. Из условий нулевой кривизны на концах следуют равенства нулю вторых производных в этих точках:


S_{1' '} (x₀) = 0 и S_{n' '} (x_n) = 0,
c_i = 0 и 2 c_n + 6 d_n h_n = 0.

Уравнения составляют систему линейных алгебраических уравнений для определения 4n коэффициентов: a_i , b_i , c_i , d_i (i = 1, 2, . . ., n).

Эту систему можно привести к более удобному виду. Из условия сразу можно найти все коэффициенты a_i.
Далее получим:



i = 1, 2, ..., n - 1,

Подставляя, получим:

b_i = - (c_{i + 1} + 2c_i) , i = 1,2, ..., n - 1,_n = - (h_n c_n)

Исключаем из уравнения коэффициенты b_i и d_i . Окончательно получим следующую систему уравнений только для коэффициентов с_i:

c₁ = 0 и c_{n + 1} = 0:_{i - 1} c_{i - 1} + 2 (h_{i - 1} + h_i) c_i + h_i c_{i + 1} = 3 ,
i = 2, 3, ..., n.

По найденным коэффициентам с_i легко вычислить d_i ,b_i.