Восстановление пропущенных данных методом кубического сплайна

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ПРОПУЩЕННЫХ ДАННЫХ МЕТОДОМ КУБИЧЕСКОГО СПЛАЙНА

Ведение
Под сплайном (от англ. spline — планка, рейка) обычно понимают кусочнозаданную функцию, совпадающую с функциями более простой природы на каждом элементе разбиения своей области определения. Сплайны имеют многочисленные применения как в математической теории, так и в разнообразных вычислительных приложениях. В частности, сплайны двух переменных интенсивно используются для задания поверхностей в различных системах компьютерного моделирования. Функции, подобные тем, что сейчас называют сплайнами были известны математикам давно, начиная как минимум с Эйлера, но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.

В 1946 году Исаак Шёнберг впервые употребил этот термин в качестве обозначения класса полиномиальных сплайнов. До 1960 годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных экстремальных и вариационных задач, особенно в теории приближений. После 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании, что продолжается по сей день. Целью данной работы является разработка вычислительного алгоритма метода « кубического сплайнами».
Кубические сплайны для интерполяции предложил использовать Шенберг в 1949 г. Слово "сплайн" происходит от названия длинных тонких металлических реек, которые с давних времен немецкие чертежники крепили гвоздиками на кульмане вместо лекал для проведения сложных кривых.
Кубический сплайн - это функция, которая:
- проходит через все заданные  точек  ,  ;
- на каждом отрезке между соседними точками является кубическим полиномом;
- непрерывна вместе со своими первой и второй производными во всех точках.
Заметим, что, благодаря третьему условию, кубическая парабола  через две точки проводится однозначно.


2.2 Интерполяция с помощью кубического сплайна

Кубическим интерполяционным сплайном, соответствующим данной функции f(x) и данным узлам x_i, называется функция S(x), удовлетворяющая следующим условиям:

1. На каждом сегменте [x_{i - 1}, x_i], i = 1, 2, ..., N функция S(x) является полиномом третьей степени,
2. Функция S(x), а также ее первая и вторая производные непрерывны на отрезке [a, b],


3. S(x_i) = f(x_i), i = 0, 1, ..., N.

На каждом из отрезков [x_{i - 1}, x_i], i = 1, 2, ..., N будем искать функцию S(x) = S_i(x) в виде полинома третьей степени:

S_i(x) = a_i + b_i(x - x_{i - 1}) + c_i(x - x_{i - 1})² + d_i(x -₁)³,
x_{i - 1}  x  x_i,

где a_i, b_i, c_i, d_i - коэффициенты, подлежащие определению на всех n элементарных отрезках. Чтобы система алгебраических уравнений имела решение, нужно, чтобы число уравнений точно равнялось числу неизвестных. Поэтому мы должны получить 4n уравнения.

Первые 2n уравнения мы получим из условия, что график функции S(x) должен проходить через заданные точки, т. е.
S_i(x_{i - 1}) = y_{i - 1}, S_i(x_i) = y_i.

Эти условия можно записать в виде: