Viii. Parametrga bog’liq masalalar Parametrga bog’liq Koshi masalasi

Butunligi.Endi yechimning parametriga nisbatan butun funksiya bo’lishini isbotlaymiz.Aniqlashga ko’ra, funksiyalarning har bir sohada galamorf bo’lishi ravshan . Haqiqatdan ham , galamorf.Bundan foydalanib ushbu


Funksiya sohada galamorligiga ishonch hosil qilamiz.Chunki, parametriga nisbatan birinchi darajali ko’phaddir.Xuddi shuningdek , quydagi

tenglikdan parametriga nisbatan ikkinchi darajali ko’phad ekanligi ko’rinadi.Bu esa funksiyaning sohada golomorf ekanligini bildiradi .Yuqoridagi jarayonni davom qildirish natijasida funksiyaning sohada golomorf bo’lishiga ishonch hosil qilamiz.Veyershtras kompleks analizdagi teoremasiga ko’ra , limitik funksiya ham sohada golomorf bo’ladi.
R>0 soni ixtiyoriy bo’lgani uchun butun funksiya bo’ladi.

3. 
   Avvalo (1) differensiyal tenglamaga qo’yilgan
   

(16)
Koshi masalasining yechimi uchun quydagi
(17)
tasvirning o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.Bu yerda A(x,t) yadro haqiqiy uzliksiz funksiya bo’lib ,
(18)
shartni qanoatlantiradi.
Ma’lumki (1) ,(16) Koshi masalasi ushbu
(19)
Integral tenglamaga ekvivalent.Bu integral tenglamani

Formuladan foydalanib ushbu

Ko’rinishida yozish mumkin.Bunda

tenglik kelib chiqadi .Ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanib ushbu
(20)
Funkisyonal qatorni tuzamiz.Bu yerda
(21)

Matematik induksiya metodidan foydalanib , funksiyalar uchun
(22)
Tasvir o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz .Bunda yadro , o’zgaruvchiga bog’liq emas.Avval funksiyani hisoblaymiz.

Bu tenglikni oxirgi integralida =s almashtirish bajaramiz,natijadada ushbu

Tenglikka ega bo’lamiz.Ikkinchi integralda integrallash tartibini almashtirib,

munosabatni olamiz.Bunda

Kelib chiqadi.Bu yerda
(23)
Demak , n=1 bo’lgana (22) tasvir o’rinli ekan.
Endi biror nomer uchun(22) tasvirni to’g’ri deb , uni n +1 bo’ldanda o’rinli bo’lishini ko’rsatamiz.Buning uchun (22) tasvirni (21) formulaga qo’yamiz.Natijada ushbu

Munosabatga ega bo,’lamiz. Bu integralda va almashtirishlarni mos ravishda bajarib ,quydagi

tenglikni topamiz. Integrallash tartibini almashtirish natijasida , ushbu
(24)
Tesvirga ega bo’lamiz.Bu yerda