Viii bob. Integral hisob

Nyuton – Leybnits formulasi. Oldingi natijalardan ko‘rinadiki, aniq integralni uning ta’rifi, ya’ni integral yig‘indining limiti orqali topish masalasi hatto oddiy y=x funksiya misolida ancha qiyinchilik bilan yechiladi. Shu sababli aniq integralni hisoblashning qulayroq, osonroq usulini topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala integral hisobning asosiy formulasi bo‘lmish Nyuton – Leybnits formulasi orqali o‘z yechimini topadi. у=f(х) biror [а,b] kesmada uzluksiz funksiya bo‘lsin. Unda у=f(х) bu [а,b] kesmada integrallanuvchi funksiya bo‘ladi. Bu yerdan ixtiyoriy x[а,b] uchun

(2)
aniq integral mavjud ekanligi kelib chiqadi. Bunda quyi chegara a o‘zgarmas, yuqori chegara x esa o‘zgaruvchi deb qaralsa, unda (2) tenglik [а,b] kesmada aniqlangan biror Ф(x) funksiyani ifodalaydi va yuqori chegarasi o‘zgaruvchi integral deb ataladi. Bu funksiya differensial va integral hisob orasidagi chuqur bog‘lanishni ifodalovchi quyidagi muhim xususiyatga ega.
1-TEOREMA: Agar (1) tenglikda f(x) uzluksiz funksiya bo‘lsa , unda Ф(x) funksiya differensiallanuvchi va
(3)
tеnglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Ф(x) funksiya differensiallanuvchi ekanligini va uning hosilasini ta’rif bo‘yicha topamiz. Buning uchun uning х argumеntiga ∆х orttirma berib va, aniq integralning oldin ko‘rib o‘tilgan V xossasidan foydalanib, ∆Ф(х) funksiya orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:


Bu tenglikni, aniq integralning oldin ko‘rsatilgan o‘rta qiymati haqidagi xossasiga asosan,

ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerdan, hosila ta’rifi va f(x) funksiya uzluksizligiga asosan,

natijani, ya’ni isbotlanishi kerak bo‘lgan (3) tenglikni hosil qilamiz. Bu natijani olishda [x, x+Δx] bo‘lgani uchun х0 holda x bo‘lishidan foydalanildi.