Viii bob. Integral hisob

Eyler almashtirmalari. Shu bobning boshida (§2, 2.5. ga qarang) kvadrat uchhad qatnashgan integrallarni ayrim xususiy hollarda hisoblash masalasini ko‘rib o‘tgan edik. Endi bu masalani nisbatan umumiyroq bo‘lgan


ko‘rinishdagi integrallar uchun qaraymiz. Bunday irratsional ifodali integrallar shveysariyalik buyuk matematik L. Eyler (1707-1783 y.) tomonidan taklif etilgan almashtirmalar yordamida ratsional kasrli integralga keltiriladi va hisoblanadi. Bu yerda uch hol qaraladi.
I hol. Bunda ko‘rilayotgan IE integralda а>0 deb olinadi. Bu holda integralda x o‘zgaruvchidan yangi t o‘zgaruvchiga Eylеrning I alshmashtirmasi dеb ataladigan va

ko‘rinishda bo‘lgan almashtirma orqali o‘tiladi. Bu holda IE integraldagi x, va dx yangi t o‘zgaruvchi orqali ratsional kasr ko‘rinishida ifodalanadi. Demak, qaralayotgan IE integral ratsional kasrli integralga keltirilib, ko‘zlangan maqsadga erishildi.
Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz :
.
Bu yerda а=1>0 bo‘lgani uchun almashtirish bajaramiz. Bu holda

.
Bu tengliklarni berilgan integralga qo‘yib, quyidagi natijalarga kelamiz:

.
II hol. Endi c>0 bo‘lsin. Bu holda IE integralni hisoblash uchun ushbu Eylerning II almashtirmasidan foydalanamiz:
.
Bu almashtirma natijasida ratsional kasrli integralga kelamiz. Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:
.
Eylerning II almashtirmasiga ko‘ra quyidagilarni olamiz:


.
Hosil qilingan bu ifodalarni berilgan integralga qo‘yamiz:

=
.
III hol. Qaralayotgan IE integral ostidagi kvadrat uchhad  va  haqiqiy ildizlarga ega, ya’ni diskriminant D=b²–4ac>0 bo‘lsin. Bu holda

ko‘rinishdagi Eylеrning III almashtirmasidan foydalanib, integral ostidagi ifodani ratsional kasr ko‘rinishiga keltiramiz.
Misol sifatida integralni hisoblaymiz.
Bu yerda 2+х–х² kvadrat uchhad  =–1 va =2 haqiqiy ildizlarga ega va uni 2+х–х² = (х+1) (2–х) ko‘rinishda yozish mumkin. Shu sababli Eylerning III almashtirmasidan foydalanamiz va undan quyidagi tengliklarga ega bo‘lamiz:

.
Bundan tashqari

ekanligidan ham foydalanib, yuqoridagi integralni quyidagicha hisoblaymiz:


.
Logarifm ostidagi kasrni x orqali ifodalaymiz va soddalashtirib,

natijani olamiz.

3.