Viii bob. Integral hisob

§5. ANIQ INTЕGRAL VA UNING XOSSALARI

• 
  Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar.
  
• 
  Aniq integralning ta’rifi va mavjudlik sharti.
  
• 
  Aniq integralning xossalari.
  

5.1. Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar. Bir qator matematik, fizik, mexanik va iqtisodiy masalalarni yechish uchun aniq integral tushunchasi juda katta ahamiyatga ega. Bu tushunchani kiritishdan oldin unga olib keladigan ayrim masalalarni qaraymiz.

• 
  Egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash masalasi. Turli geometrik shakllarning yuzalarini topish masalasi matematikaning eng qadimgi masalalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Qadimgi Vavilon va Misrda ko‘pburchaklarning yuzalarini hisoblay olganlar. Buyuk yunon olimi Arximed (miloddan oldingi 287-212 y.) parabola segmentining yuzasini hisoblashni bilgan.O‘rta Osiyolik yurtdoshlarimiz Beruniy va Al-Xorazmiy doira va doiraviy sektor yuzalarini topa olganlar. Ammo bu geometrik shaklarning yuzalari o‘ziga xos usullarda aniqlangan bo‘lib, ixtiyoriy geometrik shaklning yuzasini hisoblashga imkon beradigan umumiy usul ma’lum emas edi. Differensial va integral hisob yaratilgach bu masala geometrik shakllarning nisbatan keng sinfi uchun o‘z yechimini topdi.
  

1-TA’RIF: Berilgan у=(х) uzluksiz funksiya grafigi, х=а va х=b vertikal to‘g‘ri chiziqlar hamda OX o‘qi bilan chegaralangan geometrik shakl egri chiziqli trapetsiya dеb ataladi.
Quyidagi 70-rasmda ko‘rsatilgan aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini topish masalasini qaraymiz.

70-rasm

Buning uchun dastlab aABb egri chiziqli trapetsiyaning asosini ifodalovchi [a,b] kesmani х₁ х₂ … х_i  …  х_n–1 bo‘lgan ixtiyoriy n–1 ta nuqta yordamida bo‘laklarga ajratamiz. Bu nuqtalarga а=х₀ vа b=х_n nuqtalarni birlashtirsak, [a,b] kesma ular orqali
[х₀, х₁] , [х₁, х₂] , … , [х_i-1, х_i] , …. , [х_n-1, х_n]
n ta kichik kesmachalarga bo‘linadi.
So‘ngra x_i , i=1,2, …, n–1 bo‘linish nuqtalaridan OY o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tqazib, berilgan aABb egri chiziqli trapetsiyani n ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarga (yuqoridagi 69-rasmga qarang) ajratamiz. Ravshanki aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi n ta kichik egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari yig‘indisiga tеng bo‘ladi. Shu sababli, agar asosi [х_i-1, х_i] (i=1,2,3,…, n) bo‘lgan egri chiziqli kichik trapetsiyalarning yuzalarini S_i kabi belgilansa, quyidagi tеnglik o‘rinli bo‘ladi:
(1)
Bu yerda S_i (i=1,2, ... , n) ham egri chiziqli trapetsiyalarning yuzalari bo‘lgani uchun ularning aniq qiymatlarini topa olmaymiz. Bu yuzalarning taqribiy qiymatini aniqlash uchun [х_i–1, х_i] (i=1,2, ... , n) kesmalarning har biridan ixtiyoriy ravishda _i nuqtalarni tanlab olamiz. Tanlangan _i nuqtalarda AB egri chiziqni ifodalovchi y=f(x)>0 funksiyaning f(_i) qiymatlarini hisoblaymiz. Endi har bir S_i (i=1,2, ... , n) yuzalarni asoslari x_i=x_i–x_i–1 va balandliklari h_i= f(_i)>0 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yuzalari bilan almashtirib, quyidagi taqribiy tengliklarga ega bo‘lamiz:
S₁  f(₁)x₁ , S₂  f(₂)x₂, …, S_i  f(_i)x_i , …, S_n  f(_n)x_n .
Bu taqribiy tengliklarni (1) yig‘indiga qo‘yib, berilgan aABb egri chiziqli trapetsiyaning izlanayotgan S yuzasi uchun ushbu taqribiy tenglikka ega bo‘lamiz:
. (2)
(2) taqribiy tenglikning geometrik ma’nosi shundan iboratki, biz hozircha hisoblay olmaydigan egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasi to‘g‘ri to‘rtburchaklardan hosil qilingan pog‘onasimon shakl yuzasi bilan almashtirildi. Bunda bo‘laklar soni n qanchalik katta qilib olinsa, pog‘onasimon shaklning yuzasi egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasini shunchalik darajada aniqroq ifodalaydi. Bu mulohazadan izlanayotgan S yuzaning aniq qiymati
(3)
limit bilan aniqlanishi mumkinligini ko‘ramiz.

•