Viii bob. Integral hisob

§4. AYRIM IRRATSIONAL VA TRIGONOMETRIK
IFODALI INTЕGRALLAR

• 
  Irratsional funksiyalarni integrallash.
  
• 
  Eyler almashtirmalari.
  
• 
  Trigonometrik ifodali integrallar.
  

Oldingi paragrafda har qanday R(x) ratsional kasr elementar funksiyalarda integrallanuvchi ekanligini va bu integralni hisoblash usullarini ko‘rib o‘tdik. Shu sababli berilgan biror funksiyaning aniqmas integrali u yoki bu yo‘l bilan biror ratsional kasrdan olingan integralga keltirilsa, unda bu integral hisoblandi deb olish mumkin. Bu paragrafda mana shunday funksiyalarning ayrim sinflari bilan tanishamiz.

1. 
   Irratsional funksiyalarni integrallash. Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr darajalari ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo‘lsa, uni irratsional funksiya deb ataymiz. Masalan,
   

kabilar irratsional funksiyalar bo‘ladi.
Biz bu yerda ayrim irratsional funksiyalarni integrallash masalasi bilan shug‘ullanamiz. Oldin shuni ta’kidlab o‘tamizki, har qanday irratsional funksiyadan olingan aniqmas integral elеmеntar funksiyalarda ifodalanmaydi.
Masalan, ushbu

irratsional ifodali integrallardan I₁ elementar funksiyalar orqali ifodalanadi, ammo I₂ uchun bunday deb bo‘lmaydi.

• 
  Dastlab binomial integral deb ataladigan va
  

ko‘rinishda bo‘lgan integrallarni qaraymiz. Bunda r, s, p – ratsional va a, b – haqiqiy sonlarni ifodalaydi. Agar r, s, p sonlarning uchalasi ham butun son bo‘lsa, unda integral ostida ratsional funksiya hosil bo‘ladi va bu holda binomial integral elementar funksiyalarda ifodalanadi. Agar r, s, p sonlardan kamida bittasi butun bo‘lmasa, unda binomial integral ostida irratsional funksiya hosil bo‘ladi. Bunda binomial integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi mumkinligi buyuk rus matematigi P.L.Chebishev(1821-1894 y.) tomonidan isbotlangan:
1) p–butun son. Bu holda almashtirma (m – integral ostidagi r va s sonlarning umumiy maxraji) bajaramiz. Agar r=k/m, s=q/m deb olsak, unda

bo‘ladi va binomial integral

ko‘rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.
Misol sifatida

integralni hisoblaymiz. Bu parametrlari r=–1, s=1/3 va p=–2 bo‘lgan binomial
integral bo‘lib, uni yuqorida ko‘rsatilganga asosan almashtirma yordamida hisob, ushbu natijaga ega bo‘lamiz:

.

2. 
   n=(r+1)/s – butun son . Bu holda p=k/m bo‘lsa, unda a+bx^s=t^m almashtirmadan foydalaniladi. Bunda
   

bo‘lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:
.

2. 
   n=p+(r+1)/s – butun son. Bu holda p=k/m bo‘lsa, unda ax^–s+b=t^m almashtirma qo‘llaniladi. Bunda
   

bo‘ladi va binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:
.

• 
  ko‘rinishdagi integrallarni qaraymiz. Bunda R orqali unga kiruvchi x, x^m/n,..., x^r/s o‘zgaruvchilarga nisbatan faqat ratsional amallar bajarilishi ifodalangan va m, n, ..., r, s –natural sonlardir. Bu integralni hisoblash uchun unda qatnashuvchi kasr daraja ko‘rsatkichlarining k umumiy maxrajini topamiz va almashtirma bajaramiz. Bu holda x, x^m/n,..., x^r/s kasr ko‘rsatkichli darajalar yangi t o‘zgaruvchining butun darajalari orqali ifodalanadi va natijada ratsional kasrli integralni hosil etamiz. Bu integralni hisoblab va olingan natijada t=x^1/n deb, berilgan aniqmas integralni topamiz.
  

Misol sifatida

irratsional ifodali integralni hisoblaymiz.
Integral ostidagi x o‘zgaruvchining daraja ko‘rsatkichlari 1/2 va 1/3 kasrlardan iborat bo‘lib, ularning umumiy maxraji 6 bo‘lgani uchun х=t⁶ , dx=6t⁵dt almashtirma bajaramiz. Natijada berilgan integralni quyidagicha hisoblaymiz:


.

• 
  ko‘rinishdagi integralni qaraymiz By yerda R, m, n, s, r uchun oldingi integralda qo‘yilgan shartlar saqlanadi. Kasrdagi a,b,c va d haqiqiy sonlar uchun a/b≠c/d shartni qo‘yamiz, chunki bu shart bajarilmasa
  

bo‘ladi va integraldagi irratsionallik yo‘qoladi.
Agar m/n, … , r/s kasrlarning umumiy maxraji k bo‘lsa, bu integralni hisoblash uchun

almashtirma bajaramiz. Bu holda
,
ya’ni x va dx yangi t o‘zgaruvchi orqali ratsional ifodalanadi. Shu sababli yuqoridagi almashtirma natijasida berilgan integral uchun ratsional funksiyaning integraliga ega bo‘lamiz. Bu integralni hisoblab va hosil bo‘lgan natijada t o‘rniga uning yuqoridagi ifodasini qo‘yib, berilgan I integral javobini topamiz.
Misol sifatida ushbu integralni hisoblaymiz:
.
Bu yerda а =–2, b = 1, с =0 , d =1 va 1/2, 1/4 kasrlarning umumiy maxraji 4 ekanligini nazarga olib,
1–2x=t⁴ , x=(1–t⁴)/2 , dx=–2t³dt,
almashtirma bajaramiz. Natijada berilgan integral quyidagi ko‘rinishga keltiriladi va hisoblanadi:


.

2.