Векторларнинг скаляр, вектор ва аралаш кўпайтмалари Фазода текислик тенгламалари Фазода тўғри чизиқ тенгламалари

Уч векторнинг аралаш кўпайтмаси. вa векторларнинг аралаш кўпайтмаси деб, вектор кўпайтманинг векторга скаляр кўпайтмасига айтилади.
Агар бўлса, у ҳолда .
Агар векторлар компланар бўлса, у ҳолда .
Аралаш кўпайтма кўпайтирилувчи векторларга қурилган параллелопипед ҳажмига тенг, яъни .
Мисол. вa векторларга қурилган параллелограм юзасини ҳисобланг.
Ечиш. вa векторларга қурилган параллелограмнинг S юзаси шу векторларнинг вектор кўпайтмасининг модулига тенг: . Вектор кўпайтмани топамиз: . Демак, кв бирликдан иборат бўлар экан.
Мисол. Учлари A(1, 2, 0); B(-1, 2, 1); C(0; -3; 2) вa D(1, 0, 1) нуқталарда бўлган пирамиданинг ҳажмини ҳисобланг.
Ечиш. Пирамиданинг A учидан чиққан қирраларига мос келувчи векторларни топамиз:
Пирамиданинг ҳажми шу векторларга қурилган параллелопипед ҳажмининг қисмига тенг бўлганлиги сабабли куб бирлик бўлар экан.


1. Берилган учта нуқтадан ўтувчи текислик тенгламаси
Маълумки, фазода бир тўғри чизиқда ётмайдиган учта нуқта орқали фақат битта текислик ўтказиш мумкин. Фазода берилган учта нуқтадан ўтувчи текислик тенгламасини тузиш талаб этилсин. Бунинг учун текисликда нуқтани оламиз. Учта нуқталарнинг декарт кординаталари маълум бўлсин: .
нуқта Р текисликда ётади, қачонки агар векторлар компланар бўлса, яъни уларнинг аралаш кўпайтмаси нолга тенг бўлса:
(8)
Уч векторнинг аралаш кўпайтмаси уларнинг координаталаридан тузилган учинчи тартибли детерминантга тенг, у ҳолда берилган учта нуқтадан ўтувчи текислик тенгламаси қуйидаги кўринишга эга:
(9)
Мисол 14. Фазода берилган учта нуқтадан ўтувчи текислик тенгламасини тузинг.
Ечиш. Бундай ҳолда .
Бу қийматларни (9) тенгламага қўямиз:

Учинчи тартибли детерминантни биринчи сатр элементлари бўйича ёямиз:

Иккинчи тартибли детерминантни ҳисоблаб, изланган тенгламани топамиз:
, ёки .