Векторларнинг скаляр, вектор ва аралаш кўпайтмалари Фазода текислик тенгламалари Фазода тўғри чизиқ тенгламалари

Нуқтадан текисликкача бўлган масофа
Фазода нуқта ва текислик тенглама билан берилган бўлсин. Берилган нуқтадан текисликкача бўлган масофани топиш талаб этилсин. Бунинг учун нуқтадан текисликка перпендикуляр кесма туширамиз. перпендикулярнинг узунлигини топиш талаб этилади. Фараз қиламиз нуқта текисликдаги ихтиёрий нуқта бўлсин. масофа абсолют қиймати бўйича, векторнинг текисликнинг нормаль вектори га туширилган проекциясига тенг. Яъни , у ҳолда



.
нуқта текисликка ётади, шунинг учун қуйидаги тенглик ўринли , бундан . Юқоридагилардан фойдаланиб қуйидаги тенгликни ҳосил қиламиз:
. (16)
Мисол. Координаталар бошидан текисликкача бўлган масофани аниқланг.
Ечиш. Бундай ҳолда , ва . (16) формуладан фойдаланиб қуйидагини топамиз
.


2.12 Фазода тўғри чизиқлар, текисликлар ва уларнинг ўзаро жойлашиши
1. Икки текисликнинг параллелик ва перпендикулярлик шартлари. Фазода : ва : текисликлар, ва нормал векторларга мос равишда перпендикуляр бўлсин.
Бундан келиб чиқадики , агар ва текисликлар параллел бўлса, у ҳолда ва векторлар ҳам параллел бўлади ва аксинча. Агар икки ва вектор параллел бўлса, у ҳолда уларнинг проекциялари ҳам параллел бўлади:
. (17)
Аксинча, агар (1) тенглик бажарилса, у ҳолда ва векторлар ҳам параллел бўлади.
Демак, (17) тенглик, икки текислик параллелигининг етарли ва зарурий шарти экан.
Агар ва текисликлар перпендикуляр бўлса, у ҳолда вектор, векторга перпендикуляр бўлади, ва аксинча, агар ва векторлар перпендикуляр бўлса, у ҳолда ва текисликлар ҳам перпендикуляр бўлади.
Узунликлари нол бўлмаган икки ва векторлар перпендикулярлигининг зарурий ва етарли шарти, уларнинг скаляр кўпайтмасининг нолга тенглигидир, яъни .У ҳолда
, (18)
тенглик, икки текислик перпендикулярлигининг зарурий ва етарли шартидир.
Мисол. Фазода ва нуқталардан ўтиб, текисликка перпендикуляр бўлган текислик тенгламасини тузинг.
Ечиш. Текислик тенгламасини қуйидаги кўринишда излаймиз . нуқта шу текисликда ётганлиги учун унинг координаталари текислик тенгламасини қаноатлантиради, яъни:
.
Биз га нисбатан битта тенглама ҳосил қилдик:
,
лар учун қолган тенгламаларни икки текисликнинг перпендикулярлик шартидан ҳосил: .

Бу тенгламалар системасини ва га нисбатан ечиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
, ,
Бундан , . Бу ифодаларни текислик тенгламасига қўйиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
.
Тенгламанинг иккала томонини га қисқартириб, ўхшаш ҳадларни ихчамласак, изланаётган текислик тенгламасини ҳосил қиламиз:
.