Vektorlarning chiziqli bog’liqligi Reja: I. Kirish II. Asosiy qism

a₁(1; -1; 2; 3), a₂(-2; -3; 0; 1), a₃(-2; -9; 4; 6), a₄(-1; 2; -2; -1).
a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + a₄x₄ = θ vektor tenglama umumiy yechimini Gauss-Jordan usulida quramiz.


 … 

x₁, x₂ va x₄ noma`lumlar umumiy yechimning bazis noma`lumlari. Demak, mos ravishda, a₁, a₂ va a₄ vektorlar tizimi berilgan sistemaning bazislaridan birini tashkil etadi. Tizim 3 ta vektordan tarkib topgani uchun berilgan vektorlar sistemasining rangi 3 ga teng.

Agar a₁, a₂, …, a_m vektorlar sistemasining rangi r ga teng bo`lsa, u holda sistemaning r ta vektoridan tuzilgan har qanday chiziqli erkli qism osti sistemasi uning bazisi bo`ladi.
. Ortogonal va ortonormallangan vektorlar sistemalari

Agar berilgan ikki n o`lchovli a<sub>1</sub> va a<sub>2</sub> vektorlarning skalyar ko`-paytmasi nolga teng bo`lsa, a<sub>1</sub> va a<sub>2</sub> vektorlar o`zaro ortogonal vektorlar deyiladi. «Ortogonal» iborasi real fazo vektorlari uchun «perpendikulyar» iborasi bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, a₁(-1; 2; 0; 3) va a₂(4; 2; -5; 0) vektorlar o`zaro ortogonal vektorlardir, chunki

.

n o`lchovli nolmas vektorlardan tarkib topgan vektorlar sistemasi berilgan bo`lib, sistema vektorlarining har qanday ikki jufti o`zaro ortogonal bo`lsa, u holda sistemaga ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.

Masalan, a₁(3; 2; 1), a₂(2; -3; 0), a₃(-3; -2; 13) vektorlar sistemasi ortogonaldir, chunki

(a₁, a₂) = 0, (a₁, a₃) = 0 va (a₂, a₃) = 0.

Har qanday nolmas vektorlardan iborat ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir.

n o`lchovli k ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>k</sub> vektorlardan iborat chiziqli erkli sistema berilgan bo`lsin. a₁, a₂, …, a_k vektorlar sistemasi ustida ortogonal vektorlar sistemasini qurish mumkin, ya`ni chiziqli erkli a₁, a₂, …, a_k sistemani, mos ravishda b₁, b₂, …, b_k ortogonal sistema bilan almashtirish mumkin. Almashtirish quyidagi Shmidt formulalari yordamida amalga oshiriladi: