Vektorlar algebrasi

To’rt o’lchovli vektorlar va tevzorlar. N o’chamli fazoda ikki koordinatalar sistemasiorasida to’g’ri va teskari almashtirish berilgan bo’sin: x´^𝒾 = x^´𝒾 (x¹, x², ,x^𝒩), (5) x^𝒾 = x^𝒾 (x^´1, x´², ,x´^𝒩). (6) Bu yerda x^´𝒾 (x¹, x², ,x^𝒩) va x^𝒾 (x^´1, x´², ,x´^𝒩) funksiyalar bir qiymatli, uzluksiz va kerakli marta differensiyalanuvchi funksiyalardir. To’g’ri va teskari almashtirish yakobianlari nolga teng bo’lmagan funksiyalardir. To’g’ri va teskari almashtirish formulalari (5) va (6) ning differensiallarini yozamiz: dx´^𝒾 = dx dx^j, (7) dx^𝒾 = dx dx´^j. (8) To’g’ri almashtirishning koffisientlari bilan teskari almashtirishning koef-fisientlari orasida bog’lanish mavjud: = ^𝒾 , = _. Agar sistemasida N ta kattaliklar berilgan bo’lib, koordinatalar (5) formula bo’yicha almashtirilganda bu kattaliklar kattaliklarg _i = (9) Formula bo’yicha almashtirilsa, shu N ta kattaliklar to’plami kovariant vector deyiladi, kattaliklarning o’zi esa uning komponentalari deb ataladi. N o’lchovli fazoda aniqlangan skalyar funksiya xususiy hosilalarining to’plami _i = (skalyar funksiyaning gradiyenti) kovariant vektorga misol bo’ladi. Tegishli almashtirishni bajarib, bunga ishoncch hosil qilish mumkin. Agar sistemasida N ta kattaliklar berilgan bo’lib, koordinatalar (6) formula bo’yicha almashtirilganda bu kattaliklar kattaliklarga _i = (10)formula bo’yicha almashtirilsa, shu N ta kattaliklar to’plami kontravariant vector deyiladi, kattaliklarning o’zi esa uning komponentalari deb ataladi. (7) va (10) dan ko’ramizki, koordinatalarning differensiallari qanday almashtirish qonuniga bo’ysunsa, kontravariant vektorning komponentalari ham o’sha almashtirish qonuniga bo’ysunadi. Demak, koordinatalarning differensiallari kontravariant vector bo’lar ekan.

Nisbiylik nazariyasida eng qisqa ta’sir prinsipi. Yorug’lik tezligiga yaqin tezliklar bilan harakatlanuvchi zarralar mexanikasi relyativistik mexanika deyiladi. Bu yerda relyativistik zarralarga nisbiylik nazariyasini tatbiq qilish qanday prinsipial o’zgarishlarga olib kelishini o’ganamiz. Masalan, Nyuton inersiya qonuni nisbiylik nazariyasida ham o’rinli bo’lib, barcha inersial sanoq sistemalarida bajariladi. Galiley almashtirishlariga nisbatan invariant bo’lgan Nyutonning ikkinchi qonuni Lorentz almashtirishlariga nisbatan invariant emas. Mexanikaning bizga ma’lum bo’lgan boshqa qonunlari ham Lorentz almashtirishlariga nisbatan invariant emas. Shu sababli, bizning asosiy maqsadimiz mexanika qonunlarini relyativistik invariant ko’rinishda yozish va ba’zi muhim deb hisoblangan masalalarni relyativistik nuqtai nazardan ko’rib chiqishdir. Relyativistik mexanikani o’rganishda har qanday ko’rinisgdagi harakat qonunlarini o’rganishda universal bo’lgan variatsion prinsip – eng qisqa ta’sir prinsipi asos qilib olinadi. Bu prinsipga asosan: Har qanday sistema uchun A va B dunyo nuqtalari orasida olingan shunday integral mavjudki, haqiqiy harakat uchun u minimumga ega, variatsiyasi esa nolga teng. Bu integral ta’sir integrali deb ataladi. Tashqi kuchlar ta’sirida bo’lmagan erkin moddiy nuqta uchun ta’sir integralini aniqlaymiz. Bunda nisbiylik prinsipidan kelib chiqadigan quyidagi umumiy qoidalarni asos qilib olamiz:

1. 
   Ta’sir integrali sanoq sistemalariga bog’liq bo’lmagan invariant – skalyar kattali bo’lishi kerak;
   
2. 
   Birinchi qoidaga asosan integral ostidagi funksiya ham invariant bo’lishi kerak;
   
3. 
   Integral bir karrali bo’lganligi uchun, uning ostida birinchi tartibli differensial turishi kerak.
   

Bu talablarga javob beruvchi vaqt va fazoning bir jinsliligini va fazoning izotropligini aks ettiruvchi bitta kattalik bizga ma’lum, u ham bo’lsa, intervalning differensialidir. Shunday qilib, yuqoridagi fikrlarni hisobga olib, erkin moddiy nuqta uchun ta’sir integralini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: S = - α (1) Bu yerda α – proporsionallik koeffisienti bo’lib, uning ma’nosi keyin ochiladi. Integral moddiy nuqtaning t₁ va t₂ vaqt momentlaridagi ikkita holatini aniqlovchi a va b voqealar orasidagi haqiqiy harakatga mos keluvchi dunyo chizig’I bo’yicha olinadi. Birinchidan, har ikkala voqea bir moddiy nuqta bilan bog’langanligi uchun ular orasidagi interval vaqtsimon, ya’ni musbat bo’ladi. Ikkinchidan, integral 4-fazodagi to’g’ri chiziq bo’yicha olinganligi uchun u minimumga ega bo’lmaydi, aksincha maksimal qiymatga ega bo’ladi.




Nisbiylik nazariyasida zarraning impul’si va energiyasi. Ma’lumki, Lagranj funksiyasidan tezlik komponentalari bo’yicha olingan hosila impul’sning mos komponentalariga teng bo’ladi. Shu qoidaga ko’ra, (8) dan tegishli hosilalarni olib, relyativistik zarraning impul’sini topamiz:
p_x = , p_y = , p_z = , (9) yoki