Vektorlar algebrasi

Tenzorlarning xossalari. Agar tenzorning indekslari o’rni almashtirilganda uning komponentalari ishorasini o’zgartirmasa, bunday tenzor simmetrik tenzor deyiladi. T _αβ^(s) = T _βα^(s) . (6) Tenzor indekslarining o’rni almashtirilganda uning komponentalarining ishorasi o’zgarsa, bunday tenzor antisimmitrik tenzor bo’ladi. T _αβ^(a) = - T _βα^(a) . (7) Ixtiyoriy A_αβ tenzordan simmetrik yoki antisimmetrik tenzor hosil qilish mumkin. Ixtiyoriy A_αβ tenzordan C_αβ = (A_αβ + A_βα) (8) Munosabat yordamida hosil qilingan yangi C_αβ tenzor simmetrik tenzor, D_αβ = (A_αβ - A_βα) (9) Qonun asosida topilgan D_αβ tenzor esa antisimmetrik tenzor bo’lishini isbotlash mumkin. Haqiqatdan ham, (8) munosabatdagi tenzor indekslarining o’rnini almash-tirsak, C_βα = (A_βα+ A_αβ) bo’ladi, buni (8) bilan solishtirib, C_βα = C_αβ ekanligini, ya’ni A_αβ tenzordan (8) qonun asosida hosil qilingan C_αβ tenzor simmetrik tenzor ekanligini ko’ramiz. Shu- ningdek, (9) dagi tenzor indekslarining o’rnini almashtirib, D_βα = (A_βα – A _αβ) = - D_αβ bo’lishini topamiz. Demak, (9) qonun asosida olingan D_αβ tenzor antisimmetrik tenzor ekan. (8) va (9) lardan C _αβ^(s) + D _αβ^(s) = A_αβ (10) munosabat kelib chiqadi, demak, ixtiyoriy A_αβ tenzorni simmetrik va antisimmetrik tenzorlar yig’indisiga ajratish mumkin. Tenzorning simmetriklik xossasi ortogonal almashtirishlarga nisbatan invariantdir, ya’ni koordinatalar almashtirilganda sim- metrik tenzor simmetrikligicha, antisimmetrik tenzor antisimmetrikligicha qoladi.