Vektorlar algebrasi

Tenzorlar algebrasi va analizi elementlari.Tenzorlar vector kattaliklardan murakkabroq bo’lgan matematik kattaliklar hisoblanadi. Vektorlar va skalyarlar tenzorlarning xususiy holidir. Tenzor tushunchasini kiritaylik. Komponentalari o’zaro orthogonal almashinuvchi uchta A, B, C vektorlar berilgan bo’lib, ularning komponentalari uchun orthogonal almashtirish qonunlari quyidagicha bo’lsin: A_α^´= _αβ A_μ , B_β^´= _βν B_ν , C_γ^´ = _γλ C_λ . (1)Bu formulalarning har biri uch o’lchovli vector komponentalari orasidagi orthogonal almashtirishlarni ifodalaydi. Ularning har biri (masalan, birinchisi) K sistemada berilgan uchta A₁ ,A₂ ,A₃ kattaliklar bilan K´ sistemasidagi uchta A₁´, A₂´ , A₃´ kattaliklar orasidagi o’zaro bog’lanishini ifodalaydi.Bir-biri bilan orthogonal bog’langan ikkita koordinata sistemasida berilgan va o’zaro (1) qonuniyat asosida almashinuvchi 3¹ =3 ta kattalikdan ibo-rat to’plam uch o’lchovli birinchi rang tenzor deyiladi. Uni T bilan belgilasak, (1) larning har birini T_α´ = _αμ T_μ (2) ko’rinishda yozish mumkin. A va B vektorlar komponentalarining ikkitalab olingan ko’paytmalarini yozaylik: A_α^´B_β^´ = _{α, μ β,ν} A_μ B _ν . (3)Indekslar 1, 2, 3 qiymatlar olganligi sababli A_α^´B_β^´ va A_μ B _ν ko’paytmalarning har biri to’qqizta kattalikning to’plami bo’ladi, ularni mos ravishda T _αβ va T_μυ lar bilan belgilasak, (3) bog’lanish T _αβ´= _{α, μ β,ν} T_{μυ α, μ} T_μυ (4) ko’rinishni oladi. O’zaro orthogonal bog’langan ikkita koordinata sistemasida berilgan va bir-biri bilan (4) qonuniyat asosida almashinuvchi 3² = 9 ta kattalikdan iborat to’plam uch o’lchovli ikkinchi rang tenzor deyiladi. A, B, C vektorlar komponentalarining uchtalab olingan ko’paytmalarini yozib, T _αβγ´ = A_α^´ B_β^´ C_γ^´ va T_μυλ = A_μ B_υ C_λ bel- gilashlarni kiritsak, T _αβγ´= _{α, μ β,ν γ, λ} T_μυλ (5) almashtirish formulasi kelib chiqadi.