Vektorlar algebrasi

Uzluksizlik tenglamasi. Nisbiylik nazariyasida real o’lchamlarga ega bo’lgan jism o’lchamsiz nuqta bilan almashtiriladi. Shu sababli zaryadni ham o’lchamsiz deb ko’rishimiz kerak. Zaryad fazoda tabiatan diskret taqsimlangan bo’ladi. Ammo, matematik qulaylik uchun biz zaryadning fazodagi real uzlukli taqsimlsnishini uzluksiz taqsimot bilan almashtiramiz. Zaryadlar egallagan sohaning cheksiz kichik dV hajmiga cheksiz kichik de zaryad joylashgan deb, quyidagi ifodani yozamiz: de(r,t) = (9) Bu yerda = de(r,t)/dV (10) Uzluksiz taqsimlangan zaryadlar zichligi. Agar zaryadlar harakatsiz bo’lsa, uning zichligi ( ) faqat koordinataning funksiyasi bo’ladi. Zaryadlar harakatda bo’lsa, u yana vaqtga ham bog’liq bo’ladi ( ). Zaryad uzlukli taqsimlanganda , u turgan nuqtada zichligi cheksizga, boshqa nuqtalarda esa nolga teng. Berilgan sohadagi to;liq zaryad e = = (11) tenglik bilan ifodalanishini e’tiborga olib, uzlukli taqsimlangan zaryad zichligini quyidagi ko’rinishda ta’riflaymiz: (12)Bu yerda uch o’lchovli delta funksiya (ilovaga qarang), zaryad turgan a nuqtaga o’tkazilgan radius-vektor, yig’indi ko’rilayotgan sohadagi barcha nuqtaviy zaryadlar bo’yicha olinadi. Zaryadlar uzlukli taqsimlangan hol uchun zaryad zichligi kabi tok zichligini ham funksiya orqali kiritamiz: I = (13) Bu yerda I – elektr toki, yoki qisqacha tok deyiladi. Shunday qilib, zaryadlar fazoda (uzluksiz yoki uzlukli) taqsimlanganidan qat’iy nazar, zaryad vat ok zichligi tushunchasini kiritish mumkin ekan. Harakatdagi zaryadlar joylashgan sohada ixtiyoriy S sirt bilan o’ralgan V hajmdagi e(t) = zaryadning vaqt bo’yicha o’zgarishi = (14) Bu kattalik manfiy bo’lsa, S soha ichida zaryadlar kamayishini ko’rsatadi, musbat bo’lsa, ortishini bildiradi. Elektr zaryadlar yo’q bo’lib ketmaydi yoki yangidan paydo bo’lmasligini hisobga olsak, ko’rilayotgan sohada zaryad miqdorining o’zgarishi S sirtni zaryadlar kesib o’tishini, ya’ni zaryadlar oqimini – elektr toki mavjudligini ko’rsatadi. Agarda ko’rilayotgan sohada zaryadlar kamayayotgan bo’lsa, (zaryadlar S sirtdan tashqariga chiqib ketmoqda), tok (15) musbat bo’ladi. Teskari holda tok manfiy bo’ladi. Bu kattalik sirtdan vaqt birligida o’tayotgan zaryad miqdoriga teng bo’lganligi uchun (14) va (15) ifodalarning ishoralarini inobatga olib, tenglashtiramiz: = - (16) Bu tenglama zaryadning saqlanish qonunini ifodalaydi: Zaryad bordan yo’q bo’lmaydi va yo’qdan paydo bo’lmaydi, faqat bir sohadan boshqa sohaga ko’chib o’tishi mumkin. Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga asosan (16) tenglamaning o’ng tomonidagi berk sirt bo’yicha integraldan hajm bo’yicha integralga o’tamiz: (17) Bu yerda hajm bo’yicha integral bilan vaqt bo’yicha hosilaning o’rnini almashtirdik. Integrallash hajmi ixtiyoriy bo’lganligi uchun (17) tenglamaning o’ng va chap tomonlaridagi integral ostidagi ifodalar bir-biriga teng bo’lishi kerak: + = 0. (18) Bu tenglama zaryadning saqlanish qonuni (16) ning differensial ko’rinishi bo’lib, uzluksizlik tenglamasi deyiladi.