Vektorlar algebrasi

H = 0, (5) ya’ni harakatsiz zaryadlar hech qanday magnit maydon hosil qilmasligi kelib chiqadi. Bu holda elektr maydon E = - grad (6) ifoda bilan aniqlanadi. Bu ifodani (1) tenglamaga qo’ysak u aynan qanoatlanadi. (4) tenglamaga qo’yish natijasida quyidagi tenglamani olamiz: = - 4 (7) Bu tenglamani Puasson tenglamasi deyiladi. Zaryadlar yo’q bo’lgan fazoda ya’ni bo’shliqda (7) tenglama Laplas tenglamasi ga o’tadi: = 0 (8) Bu tenglamaga asosan elektr maydon na maksimumga, na minimumga ega. Haqiqatan ham, ekstremumga ega bo’lishi uchun uning koordinatalar bo’yicha birinchi tartibli hosilalari nolga teng bo’lishi, ikkinchi tartibli hosilalari , va ishoralari bir xil bo’lishi kerak. Bunday bo’lishi mumkin emas, aks holda (8) tenglama qanoatlanmaydi. Tinch turgan zaryadlar hosil qilgan elektr maydon uyurmasiz bo’lib, uning kuch chiziqlari zaryadlarda boshlanib zaryadlarda tugaydi. Ma’lumki, elektr maydon kuch chiziqlari musbat zaryadlarda boshlanadi va manfiy zaryadlarda tugaydi, deb shartli ravishda qabul qilingan. Elektrostatikaning asosiy masalasi zatyadlar taqsimoti maydon potensiali va kuchlanganligi E(r) larni topishdan iboratdir. Buning uchun Puasson tenglamasini berilgan chegaraviy shartlar bilan yechish kerak. Xususan, cheksiz fazodagi masala uchun potensial kamida 1/r² kabi nolga intilishi kerak. Demak, Puasson tenglamasining yechimi r da (9) shartni qanoatlantirishi kerak. Bu shartni qanoatlantiruvchi Puasson tenglamasining yechimini umumiy holda yozish mumkin. Quyida bu yechimni isbotsiz keltiramiz: = (10) Bu yerda r va - mos ravishda koordinata boshidan kuzatish nuqtasiga va d hajm elementidagi zaryadga o’tkazilgan radiur-vektorlar, - zaryaddan kuzatish nuqtasigacha bo’lgan masofa. Umuman olganda, Puasson tenglamasining (10) ko’rinishdagi yechimi uch karrali integralni hisoblashni talab qiladi. Bunday integralni hisoblash ko’p hollarda qiyinchiliklar tug’diradi. Ba’zan uni to’g’ridan-to’g’ri hisoblab bo’lmaydi.Bunday hollarda masalani yechishning taqribiy yo’llari qidiriladi, yoki maxsus metodlar ishlab chiqiladi.

Kulon qonuni. Oldingi punktda olingan natijalarni nuqtaviy zaryadlar sistemasi uchun tatbiq qilamiz. Shu bilan birga Kulon qonunini aniqlaymiz. N ta nuqtaviy zaryadlardan tashkil topgan sistemaning maydonini aniqlaymiz. Uning zichligi = ) (12) ko’rinishda yozamiz. Bu yerda zaryad nuqtaga o’tkazilgan radius-vektor. Bu ifodani (10) ga qo’yib, nuqtaviy zaryadlarning maydon potensialini topamiz: = = . (13) Bu yerda = zaryad dan kuzatish nuqtasigacha bo’lgan masofa. Endi potensialni bitta zaryad uchun yozamiz: = . (14) R = r- Maydon kuchlanganligini aniqlaymiz: E(r) = - grad = (15) Nuqtaviy zaryad hosil qilayotgan maydonga kiritilgan sinov zaryadi ga ta’sir etuvchi kuch F(r) = = . (16) Bu bizga ma’lum bo’lgan Kulon qonuni ni beradi.