Vektorlar algebrasi

Kechikuvchi potensiallar. Yuqoridagi darslarda biz tinch turgan va statsionar harakatda bo’lgan zaryadlar sistemasi hosil qiladigan maydon hamda zaryadsiz fazodagi maydon xossalari bilan bog’liq bo’lgan bir qator masalalarni qartab chiqdik. Endi zaryadlar sistemasining harakati ixtiyoroy bo’lgan – umumiy holdagi masalani qarab chiqamiz. Qandaydir hajmda ixtiyoriy harakatda bo’lgan zaryadlar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu hajmda zaryadlarning taqsimoti va harakat vaqti va fazoda o’zgaruvchi zaryad zichligi va tok zichligi j(r, t) bilan aniqlansin. Shu zaryadlar sistemasining maydonini toppish kerak. Bu masalani o’rganishni Lorentz kalibrovkasida potensiallar uchun yozilgan Dalamber tenglamalarining yechimlarini aniqlashdan boshlaymiz: = - 4 (1) = - (2) Bu yerda yuqorida ta’kidlaganimizdek, potensiallar uchun Lorentz sharti

div + = 0 (3) o’rinli.Dalamber tenglamalari – xususiy hosilali evolyutsion (tenglamalarda vaqt bo’yicha hosila bor) tenglama bo’lganligi sababli, uning yechimini aniqlash uchun bilan j(r, t) dan tashqari boshlang’ich va chegaraviy shartlar berilgan bo’lishi lozim. Elektromagnit maydonni topish masalasi quyidagicha qo’yilishi mumkin: Bu usulning asosida chiziqli tenglamalar uchun o’rinli bo’lgan superpozitsiya prinsipi yotadi. Zaryadlar egallagan sohani cheksiz kichik hajm elementlariga bo’lamiz. Shu cheksiz kichik hajm elementlaridan biridagi zaryadlar hosil qilayotgan maydonni aniqlaymiz. Qaralayotgan zaryadlar sistemasining maydoni barcha cheksiz kichik hajm elementlaridagi zaryadlar maydonlarining superpozitsiyasi (yig’indisi) ga teng. Cheksiz kichik hajm elementlaridan birini tanlab olamiz. Undagi zaryad de = bo’lsin. Faqat shu zaryad mavjud deb, uning maydonini hajmdan tashqarida aniqlaymiz. hajmdan tashqarida zaryadlar yo’q, demak tok ham bo’lmaydi. Bu hol uchun (1) va (2) tenglamalar bir jinsli tenglamalarga o’tadi.Avval skalyar potensial uchun tenglamaning yechimini aniqlaymiz: = 0. (4) Cheksiz kichik hajm elementidagi zaryadning hajmdan tashqarida hosil qilayotgan maydoni sferik simmetriyaga ega boladi, ya’ni u faqat zaryaddan kuzatish nuqtasigacha bo’lgan masofa R = ǀr-r^´ǀ g ava vaqtga bog’liq bo’ladi. Bu holda Laplas operatorining sferik koordinatalarda yozilishidan foydalanib, (4) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: = 0. (5) Bu yerda Laplas operatorining bo’yicha hosilasi qismlarining ga ta’siri nolga teng bo’lishi inobatga olindi. Yangi funksiya kiritamiz:

. (6) Bu funksiyaga nisbatan (5) tenglama, bizga ma’lum bo’lgan to’lqin tenglamasiga o’tadi, ya’ni: = 0. (7) Bu tenglamaning yechimini umumiy holda quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: + . (8)

Avval (4) tenglamaning (8) dagi birinchi had bilan bog’liq bo’lgan xususiy yechimini ko’rib chiqamiz, ya’ni: (9) deb olamiz. U vaqtda . (10) Shu vaqtgacha uncha murakkab bo’lmagan matematik amallarni bajardik. Fi-zika nuqtai nazaridan masalaning eng muhim joyiga yetib keldik. (10) ifoda vaqt o’tishi (t 0) bilan zaryad turgan nuqtadan (markazdan) c tezlik bilan tarqaluvchi sferik to’lqinni ifodalaydi. Kuzatish nuqtasi zaryad turgan nuqtaga cheksiz yaqin borganda (R ) (10) quyidagi ko’rinishga o’tadi: . (11) Ikkinchi tomondan – nuqtaviy zaryad maydon potensialiga teng:

= . (12) Oxirgi ikkita ifodani taqqoslab,

= Ekanligini aniqlaymiz. Bundan tashqari, potensial t ning funksiyasi sifatida silliq funksiya bo’lganligi uchun = tenglik o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, hajm elementidagi zaryadlar hosil qilayot-gan maydonning skalyar potensiali uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz: . (13) Bu ifodadan ko’ramizki,kuzatish nuqtasida vaqtning t momentidagi potensial vaqt-

ning oldingi = momentidagi zaryad zichligi bilan aniqlanadi. Zaryad turgan joyda vaqtning momentida paydo bo’lgan maydon g’alayoni R masofani c tezlik bilan R/c vaqtda bosib o’tib, kuzatish nuqtasiga shuncha vaqt kechikib yetib keladi. Shuning uchun (13) bilan aniqlangan potensiallarni kechikuvchi potensiallar deyiladi.