Vektor maydonning ikkinchi tartibli amallari. Nabla operatori bilan amallar bajarish

Ta’rif. vektor maydonning divergensiyasi sohaning har bir nuqtasida nolga teng bo‘lsa, ya’ni

bo‘lsa, bu vektor maydon shu sohada solenoidli (yoki naychasimon) maydon deyiladi.
Shuning uchun solenoidli maydon uchun Ostogradskiy formulasiga ko‘ra

formulani hosil qilamiz, bu yerda yopiq sirt bo‘lib, sohani chegaralovchi tashqi normal yo‘nalishida orientirlangan. Bu maydonda biror yuzachani olamiz va chegarasining har bir nuqtasidan vektor chiziqlar o‘tkazamiz (7-chizma). Bu chiziqlar fazoning vektor naycha deb ataluvchi qismini chegaralaydi. Agar vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini tashkil etsa, u holda suyuqlik oqishi davomida bunday naycha bo‘ylab uni kesib o‘tmasdan harakatlanadi.



12-chizma.
yuzacha biror kesim va naychaning yon sirti bilan chegaralangan shunday naychaning biror qismini ko‘rib chiqamiz. (18) tenglik bunday yopiq sirt uchun quyidagi ko‘rinishni oladi:

bu tashqi normal bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektor.
Naychaning yon sirtida normallar vektor maydoniga perpindikulyar bo‘lgani uchun

bo‘ladi va (70) tenglikdagi uchinchi qo‘shiluvchi nolga teng:

Shuning uchun (19) formula bunday ko‘rinishni oladi:

bundan

kelib chiqadi. yuzachadagi normalning yo‘nalishini tashqidan ichkiga almashtirib,

munosabatni hosil qilamiz. Bu solenoidli maydonda vektor naychaning har bir kesimidan o‘tkazilgan vektor chiziqlar yo‘nalishidagi vektorlar oqimi bir xil bo‘ladi, ya’ni manbasiz va qurdumsiz maydonda (chunki ) vektor naychaning har bir kesimidan bir xil miqdorda suyuqlik oqib o‘tadi. Solenoidli maydondagi vektor chiziqlar hech qayerda yo‘qolmaydi.


Vektor maydondagi chiziqli integral. Kuch maydoni bajargan ish.
Vektor maydoni sirkulyatsiyasi.
Faraz qilaylik, sohada vektor maydon

vektor orqali hosil qilingan bo‘lsin. Bu sohada biror chiziqni olamiz va unda ma’lum yo‘nalishni tanlaymiz.
Ta’rif. Yo‘nalgan chiziq bo‘yicha olingan ushbu

ikkinchi tur egri chiziqli integral yoki vektor shaklidagi

integral vektorning chiziq bo‘yicha olingan chiziqli integrali deyiladi (13-chizma).

13-chizma.
Agar vektor kuch maydoni hosil qilsa, vektorning chiziq bo‘yicha chiziqli integrali ma’lum yo‘nalishda chiziq bo‘yicha bajariladigan ishga teng bo‘ladi.
Ta’rif. Yopiq kontur bo‘yicha chiziqli integral vektor sirkulyatsiyasi deyiladi va harfi bilan belgilanadi, ya’ni